Modulación

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de José Luis Pérez Manzano, Antonio Medina Ordoñez, J.M. Díaz-Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de J.M. Díaz-Nafría.

Definiciones

La modulación es el proceso por el cual se varía una característica de una señal portadora con respecto a otra, denominada moduladora, $x(t)$ .^[1]^[2] Se trata de una técnica fundamental en telecomunicaciones en la que reside la posibilidad de que la información pueda atravesar el canal de transmisión, aprovechando sus capacidades, y evitando sus limitaciones. En el mejor de los casos la modulación optimiza la posibilidad de transmitir información, a la vez que da lugar a diferentes técnicas de multiplexación, para la utilización simultáneamente del mismo medio, y el acceso múltiple, para el uso compartido del medio. En muchas ocasiones las modulaciones se orientan a disminuir el efecto del ruido e interferencias en la señal empleando bandas de frecuencia con menor presencia de perturbaciones, o reduciendo la sensibilidad a estas perturbaciones aumentando la ocupación espectral.

**Figura 1**: Ejemplos de modulaciones tipos. a) señal moduladora, b) modulación de onda continua en amplitud (AM), c) modulación de impulsos no codificados, d) señal MIC mostrada en términos de flujo de dígitos y de formas de onda.

Según la portadora sea continua en el tiempo o tenga un carácter temporal discreto, se distingue entre modulaciones de onda continua y modulaciones discretas, y dentro de estas últimas se diferencia entre las basadas en impulsos no codificados y codificados. Dado que solo las últimas pueden considerase modulaciones digitales, cuyo papel en las telecomunicaciones actuales es central, este grupo reviste una importancia fundamental. La figura 1 ilustra a partir de una señal moduladora original tres tipos de modulación de cada uno de estos tipos: una modulación de amplitud (de onda continua), una modulación de amplitud de pulsos (de tipo discreto, no digital) y una modulación de impulsos codificados.

Modulaciones de onda continua

Al basarse en la modificación de las cualidades de amplitud, frecuencia o fase de la portadora, $y(t)=A_{p}\cdot \cos[2\pi f_{p}t+\phi _{p}]$ , pueden ser de tres tipos básicos:

Modulación de amplitud (en inglés Amplitud Modulation, AM), $y(t)=A(t)\cdot \cos[2\pi f_{p}t+\phi _{p}]$ $y(t)=A(t)\cdot \cos[2\pi f_{p}t+\phi _{p}]$ con $A(t)\propto x(t)$ $A(t)\propto x(t)$ , es decir, la amplitud de la sinusoide sigue las variaciones de la moduladora, como puede verse en la fig.1 b y en el ejemplo de modulación AM de la sección de código (fig.3). No obstante, dependiendo de cómo se establezca la relación entre la moduladora y la amplitud, o si se aplica algún filtrado para reducir su ocupación espectral, se pueden obtener diferentes tipos entre los que cabe distinguir:
- modulación de amplitud con portadora (dejando que la amplitud tenga un valor promedio),
- Doble Banda Lateral (DBL, en inglés Double-Sideband, DSB) sin portadora,
- Banda Lateral Única (BLU, en inglés Single Sideband, SSB), ya sea inferior o o superior, y
- Banda Lateral Vestigial (BLV, en inglés Vestigial-Sideband, VSB).
Modulación de fase (en inglés Phase Modulation, PM), donde $y(t)=A_{p}\cdot \cos[2\pi f_{p}t+\phi (t)]$ con $\phi (t)\propto x(t)$ , es decir, la amplitud de la portadora se mantiene constante y se aprecian desplazamientos de fase que ensanchan o estrechan la anchura de los pulsos en función de las variaciones de la señal, de un modo similar a lo que cabe observarse en las modulaciones de frecuencia.
Modulación de frecuencia (en inglés Frequency Modulation, FM), donde $y(t)=A_{p}\cdot \cos {\bigl (}2\pi \lbrack f_{p}t+f_{\Delta }\textstyle \int ^{t}\displaystyle x(\alpha )d\alpha \rbrack {\bigr )}$ , siendo la frecuencia instantánea: $f(t)=f_{p}+f_{\Delta }x(t)$ . Al igual que en la modulación de fase la amplitud es constante y en la forma de onda caben apreciarse estrechamientos de la anchura de los pulsos cuanto la moduladora aumenta o ensanchamientos cuando ésta decrece, como puede verse en el ejemplo de modulación FM de la sección de código (fig.4).

Modulaciones discretas

Las modulaciones discretas se fundamentan en el principio de muestreo, según el cual la información de una señal limitada en banda queda preservada en las muestras tomadas a una frecuencia igual o superior a la frecuencia de muestreo. Esta posibilidad permite que sea suficiente modificar las características de una portadora consistente en una secuencia de pulsos (o elementos de señal) distanciados el periodo de muestreo. Dependiendo de si estas modificaciones están o no discretizadas en cuanto a amplitud y forma, se distinguen dos tipos fundamentales, las modulaciones de impulsos no codificados (o no digitales) y las modulaciones de impulsos codificados (o digitales).

Modulaciones de impulsos no codificados

En este caso se trata de modulaciones de impulsos basadas en la modificación no discretizada. En estas se varía alguna característica de un pulso de duración limitada, que en su forma más elemental de pulso rectangular se reduce a su amplitud, su duración y el instante de inicio, lo que da lugar a las modulaciones discretas básicas:

modulación por amplitud de pulsos (en inglés, Pulse Amplitud Modulation, PAM) en las que se modifica la amplitud de los pulsos en función de los valores de las muestras de la moduladora, sin limitar el número de amplitudes que puede adoptar, a diferencia de las modulaciones digitales de amplitud de pulsos (con las que no debe confundirse aunque también se designa como PAM) en las la amplitud solo pertenece a un conjunto posible de valores (v. fig.1.c).
modulación por duración de pulsos (en inglés, Pulse Duration Modulation, PDM) en las que se modifica la duración o anchura de los pulsos en función de los valores de las muestras de la moduladora,
modulación por posición de pulsos (en inglés, Pulse-Position Modulation, PPM) en las que lo que se modifica es el inicio del pulso respecto al inicio del periodo de muestreo en función de los valores de las muestras.

Modulaciones de impulsos codificados (digitales)

En la modulación de impulsos codificados MIC/PCM (también denominada modulación por codificación de pulsos) la señal modulada se compone de secuencias de elementos de señal cuyo estado y posición temporal son discretos. En general, dichos elementos de señal pueden describirse mediante un conjunto de formas de onda $\{s_{1}(t),...,s_{M}(t)\}$ y valores discretos que modifican dichas formas de onda y que en la señal digital se combinan en secuencias de elementos de señal desplazados temporalmente en valores enteros del periodo de símbolo:

s_{d}(t)=\sum _{k}s_{i}(t-kT_{s})

con i=1,... M.

A su vez dichos elementos de señal pueden expresarse para el análisis del rendimiento de las modulaciones, usando la técnica inicialmente planteada por Kotelnikov en 1956,^[3] en términos de un espacio vectorial definido por una base ortonormal de señales elementales $\{\psi _{1}(t),...,\psi _{N}(t)\}$ .

Dependiendo de si la señal modulada se encuentra o no es banda base, se distinguen dos tipos fundamentales:

modulaciones digitales en banda base, que pueden ser binarias (normalmente caracterizadas mediante códigos de línea binarios) o M-arias (de una o varias dimensiones, v. modulación por amplitud de pulsos, receptor óptimo),
modulaciones paso banda, en las que se modifica de forma discreta las características básicas de un pulso básico paso banda $s_{i}(t)=A_{i}\cdot s_{b}(t)\cos[2\pi f_{i}+\phi _{i}]$ $s_{i}(t)=A_{i}\cdot s_{b}(t)\cos[2\pi f_{i}+\phi _{i}]$ , donde $s_{b}(t)$ $s_{b}(t)$ es el equivalente paso bajo del pulso básico, lo que da lugar a los tipos básicos de:
- modulación por desplazamiento de amplitud o por desplazamiento de amplitud (en inglés Amplitude-Shift Keying, ASK), $s_{i}(t)=A_{i}\cdot s_{b}(t)\cos[2\pi f_{p}+\phi _{p}]$ donde $A_{i}\in {\{A_{1},A_{2},...,A_{M}\}}$
- modulación por desplazamiento de fase o por desplazamiento de fase (en inglés Phase-Shift Keying, PSK), $s_{i}(t)=A\cdot s_{b}(t)\cos[2\pi f_{p}+\phi _{i}]$ donde $\phi _{i}\in {\{\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{M}\}}$
- modulación por desplazamiento de frecuencia o por desplazamiento de frecuencia (en inglés Frequency-Shift Keying, FSK), $s_{i}(t)=A_{p}\cdot s_{b}(t)\cos[2\pi f_{i}+\phi _{p}]$ donde $f_{i}\in {\{f_{1},f_{2},...,f_{M}\}}$

Con frecuencia, los tipos de modulación básicos antes descritos se combinan para lograr modulaciones más complejas que ofrecen mejores rendimientos en cuanto a la utilización del espectro disponible o la energía. Entre ellas, cabe mencionarse por su importancia en muchas aplicaciones prácticas las siguientes modulaciones paso banda:

modulación de amplitud en cuadratura (en inglés Quadrature-Amplitude Modulation, QAM) obtenida mediante la combinación de amplitudes discretas de pulsos básicos en cuadratura, $s_{i}(t)=s_{b}(t)\{A_{I,i}\cdot \cos {(2\pi f_{p})}+A_{Q,i}\cdot \sin {(2\pi f_{p})}\}$
modulación por división ortogonal de frecuencia o por multitono discreto (en inglés Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM), basada en la utilización de multiples tonos de duración limitada cuyas frecuencias presentan una separación mínima que garantiza su ortogonalidad, y en la que cada tono puede transportar información mediante modulación QAM o PSK.

Código

Ejemplo de modulación de amplitud (AM)

El siguiente código de MATLAB genera y representa gráficamente los elementos de una modulación en amplitud con portadora (moduladora, portadora y modulación tanto en el tiempo como en la frecuencia), en la que la moduladora está constituida por dos sinusoides de 500 y 550 Hz respectivamente y la portadora es de 5000 Hz (v. figura 3). Para ello se invoca la función Mod_AM cuyo código se encuentra más abajo. Esta función genera la señal modulada en amplitud AM con portadora y hace las representaciones gráficas.

Como se trata de señales continuas su representación numérica está simulada empleando una frecuencia de muestreo de 1 MHz, que es muy superior a las frecuencias involucradas su representación se puede visualizar como un continuo, tal y como se observa en la fig.3. Así mismo se determina y representa el espectro de la señal modulada en la que se puede observar la presencia de la portadora y las dos bandas laterales, constituidas por dos líneas espectrales a 500 y 550 Hz de separación respecto a la frecuencia de la portadora, a 5000 Hz, donde se encuentra la portadora.

fm = 1e6; t = 0:1/fm:.02-1/fm;     % Fr. muestreo de simulación y base de tiempos
xm = 0.25*sin(2*pi*500*t) + 0.5*sin(2*pi*550*t); % MODULADORA acotada [-.75,.75]
Mod_AM(t,xm,3,5000);

function xAM = Mod_AM(t,xm,Ap,fp)
% Genera una señal modulada AM a partir de la moduladora entregada, acompañada 
% de su base de tiempos y a partir de la amplitud y la frecuencia de la 
% portadora. Representa la señales moduladora, portadora y modulada en t y f
% ENTRADAS
%    t....base de tiempos
%    xm...señal moduladora
%    Ap...amplitud de la señal portadora
%    fp...frecuencia de la portadora
% SALIDAS
%    xAM..señal modulada en AM
% AUTOR: J.M.Díaz-Nafría
Tm = t(2)-t(1);             % Se supone muestreo uniforme de la base de tiempos
xpo = Ap*cos(2*pi*fp*t);    % Portadora
xAM = (1+xm).*xpo;          % Modulación AM (con portadora)
%% Espectro de la señal AM 
Xam = fft(xAM); 
f = (0:length(t)-1)/length(t)/Tm;
%% Representación de las señales moduladora, portadora y modulada en t y f
subplot(2,2,1); plot(t,xm,'r');grid on; xlim([0, 0.020]);
xlabel('{\itt} [s]'); ylabel('x_m(t)'); title('Moduladora');
subplot(2,2,2); plot(t,xpo,'b'); grid on; axis([0, 0.010,-4,4]);
xlabel('{\itt} [s]'); ylabel('x_p_o(t)'); title('Portadora');
subplot(2,2,3); plot(t,xAM,t,Ap*(1+xm),'--r'); grid on; xlim([0, 0.020]);
xlabel('{\itt} [s]'); ylabel('x_A_M(t)'); title('Señal AM');
subplot(2,2,4); stem(f,abs(Xam),'.'); grid on; xlim([0, 1e4]);
xlabel('{\itf} [Hz]'); ylabel('|X_A_M(f)|'); title('Señal AM');

Modulación de frecuencia (FM)

El código aportado a continuación incluye la generación de una moduladora sinusoidal de prueba con la que se invoca la función Mod_FM() que genera la señal modulada en frecuencia FM cuyo código se encuentra más abajo. La figura adjunta muestra los resultados obtenidos. La función Mod_FM() permite la generación y representación gráfica de una señal modulada en frecuencia a partir de una señal de información cualquiera aportada y los parámetros característicos de la modulación.

fm = 10000; t= 0:1/fm:1;    % Frecuencia de muestreo de la simulación y base de tiempos
xm = sin(2*pi*4*t);         % Moduladora acotada en: [-1,1]
xFM = Mod_FM(t,xm,2,40,22); % Invocación a la función Mod_FM

function xFM = Mod_FM(t,xm,A,fp,Df)
% Genera una señal modulada FM a partir de la moduladora entregada, acompañada 
% de su base de tiempos y a partir de la amplitud, los parámetros de entrada 
% de frecuencia de la portadora, desviación de frecuencia. Representa la
% señal modulada y la frecuencia instantanea.
% ENTRADAS
%    t....base de tiempos
%    xm...señal moduladora
%    A....amplitud de la señal modulada
%    fp...frecuencia de la portadora
%    Df...desviación de frecuencia
% SALIDAS
%    xFM..señal modulada en FM
% AUTOR: J.M.Díaz-Nafría
Tm = t(2)-t(1);                 % Se supone muestreo uniforme de la base de tiempos
phi = 2*pi*Df*cumsum(xm)*Tm;    % fase instantanea phi(xm(t))  
xFM = A*cos(2*pi*fp*t+phi);     % Señal FM
f_i = [fp,diff(2*pi*fp*t+phi)/(2*pi*Tm)];   % frecuencia instantanea
%% Representación de la señal modulada y de la frecuencia instantanea
subplot(2,1,1); plot(t,xFM,t,xm,'--');      % Señal FM y moduladora
xlabel('t [s]'); ylabel('x_{FM}(t);  x_{moduladora}(t)');
legend('Señal FM','Moduladora'); grid on;
subplot(2,1,2); plot(t,f_i);                % Frecuencia instantanea
xlabel('t [s]'); ylabel('f_{inst}(t) [Hz]'); grid on; ylim([0,ceil(max(f_i)/10)*10]);
end

Referencias

↑ Díaz Nafría, J.M. (2020). Unidad 1: Caracterización de la señal. Presentación disponible en el aula virtual de la asignatura “Sistemas de transmisión. Comunicaciones ópticas.” de la UDIMA.
↑ Wright, E.; Reynders, D. (2004). Practical Telecommunications and Wireless Communications. Oxford: Elsevier, Capítulo 2: Telecommunication basics, pp. 5-26.
↑ Kotelnikov V.A. (1956). The Theory of Optimum Noise Immunity. Russia, 1956; US 1959.

[Díaz-1] Díaz Nafría, J.M. (2020). Unidad 1: Caracterización de la señal. Presentación disponible en el aula virtual de la asignatura “Sistemas de transmisión. Comunicaciones ópticas.” de la UDIMA.

[Wright-2] Wright, E.; Reynders, D. (2004). Practical Telecommunications and Wireless Communications. Oxford: Elsevier, Capítulo 2: Telecommunication basics, pp. 5-26.

[3] Kotelnikov V.A. (1956). The Theory of Optimum Noise Immunity. Russia, 1956; US 1959.

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