Teorema de muestreo

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Verónica Velasco López, Benson Nketia y J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Definiciones

El teorema de muestreo establece que si una señal continua en el tiempo, $x_{a}(t)$, tiene un ancho de banda limitado, B, es posible reconstruirla de forma exacta a partir de muestras de la señal original muestreada a una frecuencia $F_{m}\geq 2B$. En otras palabras, el teorema de muestreo nos indica las condiciones del muestreo para evitar que se produzca el problema de solape en frecuencia (aliasing) y así no perder información durante el proceso de muestreo.

Formalmente el teorema de muestreo puede expresarse así: Sea $x(t)$ una señal de banda limitada con $X(F)=0$ para $|F|>F_{max}$ entonces se determina unívocamente a partir de sus muestras $x(nT)$ donde $n\in \{-\infty ,...,-2,-1,0,1,2,...\infty \}$ si la frecuencia de muestreo $F_{m}>2F_{max}$, siendo $F_{m}=1/T$ y T el periodo de muestreo.

Se puede probar fácilmente que si muestreamos una sinusoide continua de frecuencia superior a la de muestreo $F=F_{m}/2+\Delta _{F}$, entonces dicha sinusoide podría confundirse con un alias, como se ha discutido en el artículo correspondiente. Sin embargo, si la frecuencia es inferior a $F_{m}/2$, la unicidad de valor de las funciones sinusoidales en el intervalo $(-\pi ,\pi ]$ hacen que pueda encontrarse una única frecuencia en el intervalo $(-F_{m},F_{m}]$ que corresponda a las muestras de la sinusoide original. En el artículo de interpolación ideal se indica y demuestra cómo poder reconstruir exactamente la secuencia original a partir de las muestras.

Muestreo de señales periódicas

Supongamos una señal analógica compuesta por un conjunto finito de sinusoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases:

$x_{a}(t)=\sum _{i=0}^{N}{A_{i}\cos(2\pi F_{i}t+\theta _{i})}$

Donde N es el número de componentes armónicas de la señal analógica y las frecuencias se encuentran acotadas en el intervalo $[0,F_{max}]$. De acuerdo al teorema de muestreo, para evitar pérdida de información en el proceso de muestreo de la señal original, sería necesario que la frecuencia de muestreo, $F_{m}$, cumpla: $F_{m}>2F_{max}$

Seleccionando esta frecuencia de muestreo, cualquier componente de frecuencia $F_{i}<F_{max}$ se corresponde con una sinusoide discreta en el tiempo de frecuencia normalizada: $f_{i}={\frac {F_{i}}{F_{m}}}\leq {\frac {1}{2}}\forall i$. De este modo, todas las componentes de frecuencia de la señal analógica están representadas en la forma muestreada sin ambigüedad y puede reconstruirse sin distorsión a partir de los valores de las muestras, usando la función de interpolación ideal:

$g(t)={\frac {sin\left(2\pi Bt\right)}{2\pi Bt}}$

De modo que: $x_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x_{a}\left({\frac {n}{F_{m}}}\right)g\left(t-{\frac {n}{F_{m}}}\right)}$

La frecuencia mínima de muestreo que nos permite recuperar sin pérdidas la señal de ancho banda limitado es $F_{N}=2B=2F_{max}$, denominada Frecuencia de Nyquist.

Señales periódicas en relación armónica

Si las componentes sinusoidales de $x_{a}(t)$ se encontraran en relación armónica con una frecuencia fundamental $F_{0}=1/T$ de modo que $F_{i}=iF_{0}=i/T$ con $i=0,1,...N$, entonces T sería el periodo de la señal analógica y bastaría tomar muestras dentro de este periodo para poder determinar unívocamente todas las componentes armónicas. El resto de muestras serían repetitivas y, por tanto, redundantes. Esto es, si aplicamos el criterio de Nyquist antes referido ($f_{m}\geq 2f_{max}=2Nf_{0}=2N/T$) sería suficiente un número finito de muestras para preservar toda la información de la señal original: Nº muestras $\geq Tf_{N}+1=T\cdot 2Nf_{0}+1=T{\frac {2N}{T}}+1=2N+1$ (donde el valor en exceso respecto a 2N se debe a que se toma una muestra al inicio y otra al final del periodo). La necesidad de esta cantidad de datos para la reconstrucción de la señal original se puede entender teniendo en cuenta que, de esta forma, dentro del periodo del armónico de mayor frecuencia, N/T, tendríamos dos valores que nos permitirían determinar $A_{N}$ y $\theta _{N}$. Por otra parte, en conjunto habrá 2N+1 valores $\{A_{i}\}_{N+1}$ y $\{\theta _{i}\}_{N}$ que deben determinarse para la reconstrucción exacta de la señal original, $x_{a}(t)$.

Demostración del teorema de muestreo

Antes nos hemos referido a una señal periódica representada en términos de una seria de Fourier, sin embargo, el resultado es extensible a cualquier señal sea o no periódica. La transformada de Fourier sería precisamente la expresión en el dominio de la frecuencia de la señal analógica.

La operación de muestreo podemos representarla idealmente como el producto de la señal original por un tren de deltas de Dirac separadas Tm. Pues bien, basta con tener en cuenta que el la transformada de Fourier de ese tren de deltas en el dominio del tiempo es un otro tren de deltas en el dominio de la frecuencia situadas en k/Tm= k fm, para observar -aplicando el teorema de la convolución- que: la transformada de Fourier de la señal muestreada es periódico con periodo fm, repitiendo el espectro de la señal original. Es decir,

$X_{m}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X_{a}(f-nF_{m})}$

Desde este punto de vista, se observa que la única manera de que no se produzca un solape espectral es haciendo que B sea inferior a $F_{m}/2$, así como que bastará con aplicar un filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte $f_{m}/2$ cuya respuesta impulsional es precisamente $g(t)$, la función de interpolación antes referida. En efecto la aplicación de dicho filtro hace que

$X_{a}(f)=X_{m}(f)\cdot G(f)=X_{m}(f)\cdot \Pi ({\frac {f}{f_{m}}})=\lbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X_{a}(f-nF_{m})}}\rbrace \cdot \Pi ({\frac {f}{f_{m}}})=X_{a}(f){\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}x_{a}(t)$ [qed]

Referencias

Proakis, J.G. y Manolakis, D.G. (2007). Tratamiento Digital de Señales. Madrid: Pearson Education.