Interpolación

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Rocío Pinto, José María Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de José María Díaz Nafría.

Definiciones

Interpolar (procedente del latín interpolāre con el sentido de 'recomponer, renovar' o 'intercalar') se emplea en general para referirnos a la intercalación de algún elemento entre otros que nos son dados, normalmente empleando como base los elementos dados . En contextos cientificos en los que contamos con modelos matemáticos para dar cuenta de los fenómenos involucrados se usa presisamente en este sentido. Aquí, la interpolación consiste en determinar -de forma más o menos precisa- los valores que se desconocen en algunos lugares del dominio de interés a partir de los valores conocidos en otros valores . Este tipo de interpolación puede tomar los datos disponibles que se encuentran inmediatamente próximos al lugar de interés, o considerar también los que se encuentran más apartados.

Interpolación como aproximación

Una de las interpolaciones más sencillas, la de vecino más cercano consiste en atribuir el valor del vecino que se encuentre más próximo, o el valor intermedio en los puntos que se encuentren a la misma distancia. De gran sencillez es también la interpolación lineal, en la cual el valor a 'interpolar' se calcula mediante la proyección lineal a partir de los valores que rodean inmediatamente, es decir, considerando que los valores varian gradual y linealmente de un extremo a otro. Así, en el caso de una interpolación unidimensional, es fácil deducir -a partir de descripción anterior- que el valor $f(x)$ a determinar para un punto $x\in [x_{1},x_{2}]$ a partir de los valores de la magnitud en los extremos del intervalo:

$f(x|x_{1},x_{2}){\overset {\underset {\mathrm {int.lin.} }{}}{=}}f(x_{1})+{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{2})$

Como puede verse, en los extremos el valor coincide puntualmente con los valores conocidos. Una generalización de este procedimiento es la interpolación polinómica en la que se emplea un polinomio interpolador, $p(x)$ (de orden m-1) basado en m valores conocidos (${x_{1},x_{2},...,x_{m}}$), que debe cumplir que $p(x_{i})=f(x_{i})\;\forall x_{1}\in f(x_{i})$. Entre estos procedimientos de interpolación se encuentra el método de las diferencias dividadas de Newton, la interpolación de Lagrange y la de Hermite.

Interpolación como reconstrucción exacta

No obstante, en la interpolación ideal el objetivo no es aproximar el valor de la magnitud en los lugares donde no tenemos información, sino el de determinar su valor exacto. A ese objetivo apunta precisamente la teoría de muestreo, que supone uno de los pilares fundamentales de las comunicaciones digitales. El teorema de Nyquit demuestra que si se dan ciertas condiciones para la distribución de valores sobre un dominio continuo, en términos de su ancho de banda, es suficiente disponer de sus muestras, tomadas con una regularidad de al menos dos veces su ancho de banda, para poder determinar con exactitud cualquier valor entre las muestras. Esto supone, entre otras cosas, que si es posible obtener con exactitud los valores entre las muestras, la información reside en su muestras y, por tanto, no es necesario emplear recursos para dejar constancia de los valores intermedios, ya que son redundantes. Como se ha discutido en el artículo dedicado al teorema de muestreo y al de interpolación ideal, se puede lograr la interpolación ideal que permite reconstruir con exactitud la totalidad de los valores en el continuo de la variable independiente, recurriendo al filtro interpolador $g(t)$:

${\begin{aligned}x(t)&=x_{m}(t)*g(t)=\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x_{c}(nT)\delta (t-nT)}\right\}*{\frac {\sin[\pi (t/T_{m})]}{\pi (t/T_{m})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{infty}x(nT_{m}){\frac {\sin[\pi (t/T_{m}-n)]}{\pi (t/T_{m}-n)}}\end{aligned}}$

Donde se presupone que un muestreo regular con frecuencia de muestreo $f_{m}=1/T_{m}\geq 2B$ (siendo $B$ el ancho de banda de la distribución contínua).

Como se puede observar a diferencia de las interpolaciones aproximativas, a las que nos referíamos en el apartado anterior, se pueden hacer las siguientes observaciones: (i) aquí la intepolación no se basa en un cálculo a partir de los valores más próximos al punto en cuestión, sino en el conjunto de la serie de datos conocidos; (ii) de acuerdo a la formulación anterior, la interpolación se puede reducir a una operación de filtrado.

Código

Matlab ofrece varios recursos para la interpolación de valores a partir de muestras sobre un dominio. Para distribuciones de una sola dimensión, ofrece la función interp1 que permite elegir varios métodos de interpolación (lineal, vecino más próximo, cúbica, hermítica, por spiline), siendo la interpolación lineal la elegida por defecto. Así vq = interp1(x,v,xq) entrega en el vector de salida vq los valores interpolados linealmente para la serie de puntos xq (variable independiente), a partir de la serie de valores conocidos v (variable dependiente) sobre los puntos x.

En el siguiente ejemplo (pueden econtrarse otros ejemplos de uso en y ), se hace uso de dicha función para interpolar dos valores situados en posiciones intermedias entre los valores conocidos:

x = [1 2 3];             % posición de los datos conocidos (coordenadas)
y = [1 2 1.5];           % valores conocidos para cada una de las coordenadas x
interp1(x,y,[1.5, 2.3])  % interpola linealmente el valor de y en x = 1.5 y 2.3 a partir de los valores conocidos de y
>> ans = 
    1.5000    1.8500