Reflexión temporal

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Verónica Velasco López y J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Nos referimos aquí al proceso de reflexión, tanto en tiempo continuo como en discreto. En general, esta operación básica se complementa con las de desplazamiento temporal y escalado temporal, así como sus operaciones duales en el dominio frecuencia, para poder expresar una amplísima gama de procesos vinculados a la transmisión y procesado de la señal.

Definiciones

La reflexión o inversión temporal de una señal consiste en invertir su desarrollo temporal, de modo que las mismas variaciones que se observan al recorrer el tiempo en sentido positivo sean las que se experimentan en la señal reflejada al recorre el tiempo en sentido negativo. En su expresión matemática, esta operación equivale a invertir la variable independiente . Puede fácilmente probarse que en el dominio transformado la operación de reflexión corresponde igualmente a una inversión de la variable frecuencial, ya sea en tiempo continuo o tiempo discreto:

$x'(t)=x(-t)\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad X'(f)=X(-f)|_{x(t)\in \mathbb {R} }=X^{*}(f)$

$x'(n)=x(-n)\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad X'(\omega )=X(-\omega )|_{x(t)\in \mathbb {R} }=X^{*}(f)$

Resulta claro que la reflexión de una señal causal es anticausal y viceversa, lo que supone que las condiciones de estabilidad analizadas en el dominio transformado de Laplace (para tiempo continuo) o z (para tiempo discreto) sean diferentes. De hecho, las regiones de convergencia (ROC) de la señal reflejada en el tiempo se verán transformadas, de modo que la ROC de la señal reflejada estará compuesto por los valores de $\{s\}$ ó $\{z\}$ tal que $-s$ (para tiempo continuo) o $z^{-1}$ (para tiempo discreto) pertenezcan a la ROC original.

Obtención de las componentes par e impar

La combinación de una señal y su reflejada permite construir las componentes par e impar de una señal real cualquiera, cuyo correlato en el dominio frecuencial son la parte real e imaginaria respectivamente:

$x_{par}={\frac {1}{2}}\{x(n)+x(-n)\}\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad X_{R}(\omega )$

$x_{imp}={\frac {1}{2}}\{x(n)-x(-n)\}\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad jX_{I}(\omega )$

Donde $X_{R}(\omega )$ es la parte real de la transformada de Fourier de $x(t)$ y $X_{I}(\omega )$ la parte imaginaria.

Expresión de procesos reales mediante operaciones de reflexión temporal

Figura 1: Estructura básica del receptor digital óptimo de acuerdo a la solución de Kotélnikov.

Si bien la reflexión temporal es una operación que -por sí sola- no podría realizar un sistema causal, en combinación con el desplazamiento supone una operación de gran importancia en telecomunicaciones, en particular en la recepción digital. En efecto, como mostró Kotélnikov, la solución óptima a la recepción digital –ilustrada en la figura 1– requiere hacer una correlación entre la señal recibida (contaminada al atravesar el canal) y las formas posibles de los símbolos transmitidos (sin perturbación) pertenecientes al código de línea elegido (v. receptor óptimo). Una muestra en el instante óptimo del resultado de dicha correlación permite obtener la máxima relación señal a ruido y minimizar la probabilidad de error en la detección de los símbolos. Pues bien, dicha correlación se expresa en términos de la reflexión de las señales base $\Psi (t)$ que permiten definir completamente el espacio de la señal de los símbolos del código de línea (o modulación digital): $R_{x\Psi }(\tau )=x(\tau )*\Psi (-\tau )$. La muestra que permite realizar una decisión óptima, se puede obtener a la salida del filtro adaptado cuya respuesta impulsional sea $h(t)=\Psi (T-t)$ en el instante $T$, lo que implica reflexión y desplazamiento temporal. A modo de aclaración de esto último, obsérvese que si llamamos $t'=t-T$ (es decir, el tiempo retrasado) la respuesta del filtro no es sino la versión reflejada de $\Psi$ en dicha referencia temporal retrasada: $h(t')=\Psi (-t')=\Psi (-(t-T))=\Psi (T-t)$, lo que además puede contemplarse como la realización de una imagen especular de la señal estableciendo como punto de reflexión $T/2$. En el artículo de convolución se ofrece un código que realiza e ilustra la operación de filtrado adaptado que acabamos de describir.

En general, además de la aplicación referida son muchas las aplicaciones (técnicas y científicas) que recurren a la correlación entre señales o secuencias, y estas pueden expresarse mediante convolución de una señal con la reflexión temporal de otra:

$R_{x_{1},x_{2}}(\tau )=x_{1}(\tau )*x_{2}(-\tau )\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad S_{x_{1},x_{2}}=\left.{\begin{matrix}X_{1}(f)X_{2}(-f)\end{matrix}}\right|_{x_{i}\in \mathbb {R} }=X_{1}(f)X_{2}^{*}(f)$

Por otra parte, como se ha discutido al hablar de la convolución, ésta se compone de operaciones más básicas entre las que se encuentra la reflexión temporal (siendo las otras el desplazamiento, la multiplicación de señales y la integración).