Escalado temporal

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Daniel Francisco Naranjo Dávila y J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Nos referimos aquí a los procesos de escalado, tanto en tiempo continuo como en discreto, lo que incluye tanto la comprensión como la expansión. En general, estas operaciones básicas se complementan con las de desplazamiento temporal y reflexión temporal, así como sus operaciones duales en el dominio frecuencia, para poder expresar una amplísima gama de procesos vinculados a la transmisión y procesado de la señal.

Definiciones

El escalado temporal de una señal consiste en comprimir o expandir la señal en el tiempo, de modo que las mismas variaciones se reflejen en un tiempo menor (compresión) o mayor (expansión). En su expresión matemática, esta operación equivale a la multiplicación de la variable independiente (temporal) de la señal por un factor de escala. Cuando el tiempo es continuo el proceso no implica pérdida alguna de información, pero éste podría no ser el caso del escalado de tiempo discreto o submuestreo, como se discute en el artículo correspondiente.

En su expresión matemática el escalado consiste en la multiplicación de la variable independiente (temporal) por una constante, que conlleva un efecto inverso en el dominio de la frecuencia:

$x'(t)=x(a\cdot t)\quad {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}\quad X'(f)={\frac {1}{|a|}}X\left({\frac {f}{a}}\right)$

Cuando $|a|<1$ hablamos de compresión y cuando $|a|<1$ de expansión. En caso de que $a<0$ se trataría de además de un operación de reflexión temporal.

En tiempo discreto, y siempre que se cumplan las condiciones que se discuten en el artículo de escalado de tiempo discreto o submuestreo, el efecto es similar:

$x'(n)=x(k\cdot n)\quad {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}\quad X'(\omega )={\frac {1}{k}}X\left({\frac {\omega }{k}}\right)$

Expresión de procesos reales mediante operaciones de escalado

La operación de escalado temporal podemos verla reflejada en de las técnicas más importantes de la telecomunicación, la multiplexación. Su expresión matemática requiere la combinación de varias operaciones elementales (muy diferentes dependiendo del tipo de multiplexación), pero para algunos casos especiales nos bastaría la operación de escalado. De un modo teórico podemos ver que -en virtud de la conservación de la información- es suficiente considerar el escalado y el desplazamiento temporal para comprender la posibilidad de la multiplexación, es decir, el emplear un mismo medio en la transmisión de varias fuentes de información. Veamos: si -como decíamos antes- la información puede quedar preservada al comprimir la señal, entonces podemos emplear los tiempos liberados de cada compresión con objeto de transmitir las otras señales. Bastará con aplicar desplazamientos temporales diferentes para ubicarlas en las franjas temporales asignadas.

Obviamente, esta descripción corresponde a un modelo teórico que no encontraríamos en los multiplexadores reales, pero si está en nuestras manos realizar algo áun más sencillo que implica escalado temporal de secuencias discretas. Para que no perdamos información bastará con que las señales originales hayan sido muestreadas a frecuencias significativamente por encima del límite de Nyquist. Si por ejemplo, tuviéramos 3 fuentes $x_{1}(n)$, $x_{2}(n)$ y $x_{3}(n)$, bastaría con quedarnos con una de cada tres muestras (para cada una de las fuentes) y conformar un multiplex que podemos expresar como $y(n)=x_{1}(3n)+x_{1}(3n+1)+x_{1}(3n+2)$. La secuencia $y(n)$ tendría el mismo número de muestras que cualquier de las fuentes originales pero estaría compuesto por versiones escaladas y desplazadas de las señales de cada fuente.

Código

Para la ilustración de las operaciones de escalado y desplazamiento temporal y las propiedades discutidas respecto a estas operaciones básicas se ofrecen varios códigos en el artículo Escalado y desplazamiento temporal.