Desplazamiento temporal

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Antonio Medina Ordoñez, Javier Campos Andreu y J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

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Nos referimos aquí a los procesos de desplazamiento tanto en tiempo continuo como en discreto, lo que incluye tanto el adelanto como el retraso. En general, estas operaciones básicas se complementan con las de escalado temporal y reflexión temporal, así como sus operaciones duales en el dominio frecuencia, para poder expresar una amplísima gama de procesos vinculados a la transmisión y procesado de la señal.

Definiciones

El desplazamiento temporal de una señal consiste en el adelanto o retraso de la señal en su desarrollo temporal. En su expresión matemática, esta operación equivale a sumar o restar un valor numérico a la variable independiente temporal, cuyo efecto, en el domino de la frecuencia, es el de la aparición de una variación exponencial compleja que se añade multiplicativamente a la transformada de la señal original:

$x'(t)=x(t-t_{d})\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad X'(\omega )=e^{-j2\pi ft_{d}}X(f)$

$x'(n)=x(n-d)\quad {\overset {\mathcal {F}}{\leftrightarrow }}\quad X'(\omega )=e^{-j\omega d}X(\omega )$

Cuando $t_{d}<0$ (en tiempo continuo) o $d<0$ (en tiempo discreto) el desplazamiento temporal implica un adelanto de la señal, mientras que si $t_{d}>0$ ó $d>0$ se trata de un retardo.

Debido a la dualidad existente entre ambos dominios, un desplazamiento en frecuencia, como el usado típicamente en modulaciones y multiplexaciones, corresponde a una variación equivalente en el dominio del tiempo, es decir la multiplicación por una exponencial compleja en el tiempo (que a su vez corresponde a variaciones sinusoidales).

Adelanto de señales discretas

El adelanto unitario puede interpretarse como un sistema que adelanta la señal de entrada una muestra, es decir, si $x(n)$ representa la entrada del sistema e $y(n)$ su salida, ésta se puede expresar como^[1]

$y(n)=x(n+1)\;\;{\overset {z}{\leftrightarrow }}\;\;Y(z)=zX(z)\;\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;\;Y(\omega )=e^{j\omega }X(\omega )$

Su generalización a un adelanto de m muestras es trivial:

$y(n)=x(n+m)\;\;{\overset {z}{\leftrightarrow }}\;\;Y(z)=z^{m}X(z)\;\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;\;Y(\omega )=e^{jm\omega }X(\omega )$

Retardo de señales discretas

El retardo unitario puede interpretarse como un sistema que retarda la señal de entrada una muestra, es decir, si $x(n)$ representa la entrada del sistema e $y(n)$ su salida, ésta se puede expresar como^[1]:

$y(n)=x(n-1)\;\;{\overset {z}{\leftrightarrow }}\;\;Y(z)=z^{-1}X(z)\;\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;\;Y(\omega )=e^{-j\omega }X(\omega )$

Su generalización a un adelanto de m muestras es trivial:

$y(n)=x(n-m)\;\;{\overset {z}{\leftrightarrow }}\;\;Y(z)=z^{-m}X(z)\;\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;\;Y(\omega )=e^{-jm\omega }X(\omega )$

Sistemas que adelantan o retrasan la señal

Si nos referimos al efecto ejercido por un sistema sobre una señal, se dirá que éste produce un adelanto de señal cuando la señal de salida, $y(t)$ en sistemas continuos, ó $y(n)$ en sistemas discretos, pueda expresarse exactamente como una versión adelantada de la señal de entrada, $x(t)$ , ó $x(n)$ . Es decir, $y(t)=x(t+\tau )$ , ó $y(n)=x(n+k)$ , donde $\tau ,k>0$ corresponde al tiempo de adelanto en sistemas continuos y discretos respectivamente, con $\tau \in \mathbb {R}$ ; $k\in \mathbb {N}$ .

La respuesta impulsional de un sistema lineal que produjera un adelanto sería $h(t)=\delta (t+\tau )$ en sistemas continuos, ó $h(n)=\delta (n+k)$ , en sistema discretos, donde $\delta (t)$ es la función delta de Dirac y $\delta (n)$ el impulso unitario.

Análogamente hablaremos de retardo o retraso de señal cuando $\tau ,k<0$ .

Expresión de procesos reales mediante operaciones de desplazamiento temporal

Es obvio que un sistema que produzca una adelanto de señal es anticausal, y por tanto, irrealizable en la práctica si se habla de sistemas que operan con señales en tiempo real, ya que la salida ocurre antes que la entrada a la que supuestamente responde. Desde ese punto de vista, hablar de adelanto de la señal no tendría sentido físico. Sin embargo, cuando no se trabaja en tiempo real -como ocurre en muchas aplicaciones de procesado, o incluso en sistemas que aparentemente operan en tiempo real- sino con señales que se encuentran, por ejemplo, almacenadas en memoria, si podemos lograr adelantos o retrasos arbitrarios respecto a una determinada referencia. Por otra parte, cuando los adelantos se aplican a señales determinísticas, por ejemplo, periódicas, en esos casos es perfectamente posible lograr versiones adelantadas de la señal, que también podríamos expresar como versiones retrasadas. Normalmente si el tiempo de adelanto es menor que el del retraso equivalente que produce la misma señal, se habla de adelanto en lugar de retraso y viceversa.

El retardo de la señal (o el fenómeno discreto más fundamental conocido como retardo unitario) constituye un fenómeno de gran relevancia para la evaluación, diseño y planificación de los sistemas.

En primer lugar el retardo supone un problema de primer orden: el que la señal/información llegue demasiado tarde respecto a las expectativas del servicio de telecomunicaciones en cuestión y puede llegar a inutilizarlo por completo (seguramente todos hemos experimentado comunicaciones conversacionales cuyos retardos son tan prolongados que es imposible entenderse y debe cancelarse la conversación por improductiva).

En segundo lugar, existe un efecto aún más general, el del retardo diferencial de las señales en un punto de confluencia (o destino) que dan lugar a diversos fenómenos distorsivos (un caso bien conocido y extremo es el desvanecimiento del enlace por este motivo, a menudo designado por su expresión inglesa, fading), presencia de ecos, problemas de sincronismo de señal o de trama, etc. Para el estudio de estos fenómenos en sistemas discretos (digitales) o en modelos discretos de sistemas continuos, tanto el retraso como el adelanto de las secuencias discretas suponen los elementos básicos de este fenómeno. En este sentido estos componentes son elementos básicos en la modelización de los sistemas de transmisión, lo que, a su vez, permite evaluar su repercusión en la calidad, diseñar técnicas para mitigarlos y planificar nuevos sistemas.

En general, las operaciones de desplazamiento no se encuentran directamente entre los procesos que ocurren a nuestras señales de información al atravesar los sistemas de transmisión, salvo en algunos casos particulares como los referidos. No obstante, existen multitud de procesos que afectan a nuestras señales al atravesar los sistemas de transmisión que pueden modelarse a partir de estos procesos básicos de escalado y desplazamiento temporal. Otro proceso de gran relevancia en telecomunicaciones, lo constituye la operación dual al desplazamiento temporal, es decir, el desplazamiento en el dominio de la frecuencia. Dada la dualidad entres ambos espacios de representación, un desplazamiento en frecuencia, como el que se emplea en modulaciones y multiplexaciones analógicas, tiene un efecto equivalente sobre el domino transformado, que en este caso es el temporal.

Código

La función que se muestra a continuación, adelanto (x, n), recrea, a partir de una secuencia de entrada, dos secuencias de longitud idéntica, una de ellas adelantada n muestras respecto a la otra. La función retraso (x, n) reproducida más abajo es análoga a la anterior, dando lugar a un una versión retrasada de la señal. Como puede observarse, para producir el desplazamiento temporal respecto a la señal original se aumenta la longitud de la secuencia original y se añaden ceros, lo que supone una perturbación de la señal que será tanto más notable cuanto más cortas sean las secuencias.

function [y,r] = adelanto (x, n)
% function [y,r] = adelanto (x, n)
% Esta función construye una secuencia de salida y basada en la entrada con n muestras adicionales y 
% y nulas al final, a la vez que reconstruye la señal original para que su longitud sea idéntica agregando
% n muestras al principio. De esta modo las señales de salida presentan un retraso relativo de n muestras.
% ENTRADAS
%    x:    secuencia (valores discretos) obtenidos de una función cualquiera
%    n:    número de unidades de tiempo que se desea adelantar la señal de entrada
% SALIDAS
%    y:    secuencia x sin adelantar con duración temporal extendida el número de muestras adelantadas
%    r:    secuencia x adealantada n unidades de tiempo
y = [zeros(1,n) x];
r = [x zeros(1,n)];
end

function r = retardo (x, n)
% function r = retardo (x, n)
% Esta función devuelve la secuencia de entrada x, retardada n unidades
%
% ENTRADAS
%    x:    secuencia (valores discretos) obtenidos de una función cualquiera
%    n:    número de unidades de tiempo que se desea retardar la señal de entrada
% SALIDAS
%    y:    secuencia x sin retardar con duración temporal extendida el número de muestras retardadas
%    r:    secuencia x retardada n unidades de tiempo
  y=[x zeros(1,n)]
  r=[zeros(1,n) x]
end

Para la ilustración de las operaciones de desplazamiento y escalado temporal y sus propiedades se ofrecen varios códigos en el artículo Escalado y desplazamiento temporal.

Referencias

↑ ^1.0 ^1.1 Proakis, J.G. y Manolakis, D.G. (2007). Tratamiento Digital de Señales. Pearson Education S.A., Madrid 2007, p.52.

[Proakis-1] 1.0 ^1.1 Proakis, J.G. y Manolakis, D.G. (2007). Tratamiento Digital de Señales. Pearson Education S.A., Madrid 2007, p.52.

[1]