Filtro Paso Bajo

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de José María Díaz Nafría, Borja Egea Madrid, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de José María Díaz Nafría.

Observaciones del Docente: Este artículo requiere las mejoras indicadas a continuación: El artículos podría enriquecerse con una descripción más amplia de filtros paso bajo. Aquí solo se han mencionado filtros de orden 1. Podría también enriquecerse mediante un código que realice lo propuesto al final de la sección de código.

Definiciones

Como se ha indicado en el artículo de filtrado en frecuencia se trata de un filtro que elimina las componentes de baja frecuencia de una señal.

En condiciones ideales el filtro permitiría solo el paso de las componentes por debajo de una frecuencia de corte $f_{c}$, eliminaría el resto y no modificaría ni la amplitud ni el retardo que experimentaría cada componente frecuencia a su paso por el filtro.

Figura 1: Filtro pasivo paso bajo de primer orden RC (Fuente: WikiMedia).

Un filtro analógico de gran sencillez lo constituye el representado en la figura 1, consistente en una sencilla red de un resistor en serie y un condensador en paralelo. Recurriendo a la transformada de Laplace, puede fácilmense probarse que la respuesta, entendida como la relación entre la tensión de salida y entrada del filtro, tiene la forma:

$H(s)={\frac {V_{sal}(s)}{V_{ent}(s)}}={\frac {1}{1+sRC}}={\frac {1}{1+s/\omega _{c}}}\quad {\rightarrow }\quad H(\omega )={\frac {1}{1+j\omega /\omega _{c}}}$

Donde $\omega _{c}=2\pi f_{c}=1/RC$ representa la frecuencia angular de corte en la que la relación entre la tensión de salida y de entrada es $1/{\sqrt {2}}$, es decir, tiene un nivel 3 dB inferior, y donde el decaimiento de la relación desde dicha frecuencia es de -20 dB/decada. Obsérvese que desde un punto de vista eléctrico cualitativo el condensador requiere un tiempo de carga que depende precisamente del valor RC, lo que hace que las variaciones rápidas no puedan llegar a bornas del condensador. En continua el condensador funcionaría como un curcuito abierto que impediría el paso de corriente por la resistencia de modo que el voltaje de entrada estaria presente en la salida (suponiendo que esta se encuentre en circuito abierto). En definitiva las frecuencias bajas pasan mejor que las altas que sufren una atenuación progresiva.

Filtros de órden superior (por ejemplo mediante combinación de cuadripolos similares RC en cascada) que ofrecen decaimientos más pronunciados de la función de transferencia a partir de una frecuencia de corte, permiten una mayor selectividad en la eliminación de frecuencias fuera de la banda de paso.

Un filtro digital sumamente simple sería el basado en el promedio de la muestra actual con la precedente:

$y(n)={\frac {x(n)+x(n-1)}{2}}\quad {\overset {z}{\rightarrow }}\quad Y(z)=X(z)\left(1+z^{-1}\right)/2$

Por tanto, su función de transferencia:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=[1+z^{-1}]/2\quad {\rightarrow }\quad H(\omega )=e^{-j\omega /2}\cos(\omega /2)$

Donde puede fácilmente verse que a frecuencia nula (continua) la transferencia es máxima y que ésta decrece hasta $\omega =\pi$, que corresponde a la máxima frecuencia representable, igual a la mitad de la frecuencia de muestreo. Se observa además que no introduce distorsión de fase al introducir a todas las frecuencias un mismo retraso, 0.5 (ver sección Filtros de fase lineal del artículo Filtrado en frecuencia).

Código

El siguiente código recurre a la función de Matlab lowpass que realiza un filtrado paso bajo de orden mínimo, con 60 dB de atenuación en la banda eliminada y compensación de retardo para minimizar la distorsión de fase a una secuencia de entrada. Como parámetros de entrada se pueden aportar tanto la frecuencia normalizada de corte, como la frecuencia en Hz y la frecuencia de muestreo.

Figura 2: Efecto del filtrado paso bajo a 1 KHz sobre una señal de audio musical.

El código carga una señal sonora con componentes frecuenciales apreciables hasta 18 KHz y le aplica un filtrado de 1 KHz. El código reproduce la señal antes y después del filtrado en el dominio del tiempo y de la frecuencia.

[fm,t,x1d,x1i] = load_Herman(0,0);  % Carga un fragmento estéreo de 22.7 s de la canción Bristol de Herman Dune
x_mono = (x1d+x1i)/2;               % Señal mono a partir de los dos canales estéreos
y = lowpass(x_mono,1000,fm);        % filtrado a 1000 Hz (la frecuencia de muestreo de la señal es 44100 Hz)
sound(y,fm)                         % reproduce la señal filtrada
lowpass(x_mono,1000,fm);            % representa gráficamente las señales antes y después de ser filtradas en t y f.

Como puede apreciarse tanto en la representación gráfica como en el sonido reproducido, la señal ha perdido componentes importantes que justifican el poder hablar de una mala calidad del sonido filtrado (ver señal de audio).

De mayor interés para comprender el interés del filtrado sería añadir a la señal una señal un ruido o interferencia con densidad espectral de potencia del mismo orden o superior al de nuestra señal a partir de una determinada frecuencia. En ese caso, el filtrado que preserve preferentemente las frecuencias por debajo de dicha frecuencia equivaldría a un aumento de la calidad del sonido recibido.