Circuito lineal

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Rubén Guzmán, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a las "Telecomunicaciones", bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Definición

En el ámbito de la teoría de circuitos y considerando un circuito como un cuadripolo (en el que distinguimos un terminal de entrada y otro de salida, cada uno compuesto por dos nodos), si aplicamos una señal sinusoidal a la entrada de un circuito lineal a la salida obtenemos otra señal también sinusoidal, que puede ver alterada su fase y su amplitud, pero mantiene la misma frecuencia respecto a la señal de entrada.

Además, se debe cumplir el principio de superposición. Según éste, la respuesta del circuito lineal a una suma ponderada de señales será igual a la suma ponderada de las respuestas a cada una de las señales individuales de entrada. Es decir, si consideramos el circuito como un sistema que devuelve a su salida la señal $y(t)$ ante la señal de entrada $x(t)$, una entrada compuesta por $a\cdot x_{1}(t)+b\cdot x_{2}(t)$ producirá una repuesta a la salida $a\cdot y_{1}(t)+b\cdot y_{2}(t)$.

Las series de Fourier, que nos permiten expresar cualquier señal periódica como suma ponderada de señales sinusoidales, junto al principio de superposición, nos facilitan enormemente el estudio de la respuesta de los circuitos lineales ante señales periódicas. A su vez, la transformada de Fourier permite considerar señales que no sean periódicas. Según lo que decíamos al principio, nos basta conocer la relación fasorial (cuyo módulo representa la relación de las amplitudes y la fase el desfase que se produce entre la entrada y salida), $H(f)=Y(f)/X(f)\,\in \mathbb {C}$, que en principio podrá ser diferente en cada frecuencia, para poder determinar cómo será la transformada de cualquier salida a partir de la transformada de la entrada: $Y(f)=H(f)\cdot X(f)$, y por tanto, poder saber cómo será la salida. A la relación fasorial $H(f)$ la denominamos función de transferencia, que es objeto de estudio del filtrado en frecuencia.

Ejemplo

Figura 1: Ejemplo de circuito lineal: Filtro paso banda.

En la figura 1 se representa un ejemplo de circuito lineal. Se trata de un filtro paso banda, que atenúa las componentes espectrales de la señal de entrada $V$ fuera de su banda de paso. Está compuesto por tres elementos en serie (bobina $L$, resistencia $R$ y condensador $C$) más una resistencia de carga $R_{L}$ donde se mide la tensión de salida $V_{O}$.

La relación entre la tensión de entrada $V$ y la corriente $I$ que atraviesa el circuito viene dada por la ley de Ohm según la expresión ${\frac {V}{I}}=Z$, siendo $Z$ la impedancia del circuito. La impedancia dependerá de la frecuencia $f$ y en nuestro ejemplo está determinada por la suma de las impedancias de los elementos del circuito, por estar dispuestos en serie $Z=j2\pi fL+R+{\frac {1}{j2\pi fC}}+R_{L}$.

Aplicando la división de tensión, la relación entre las señales de salida y entrada la podemos expresar como ${\frac {V_{O}}{V}}={\frac {R_{L}}{j2\pi fL+R+{\frac {1}{j2\pi fC}}+R_{L}}}=H(f)$. Esta relación será máxima cuando $2\pi fL={\frac {1}{2\pi fC}}$, es decir, cuando $f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$. Esta frecuencia, conocida como frecuencia de resonancia, es el centro de la banda de paso del filtro, que aquí coincide con la frecuencia en la función de transferencia es máxima y también en la que se produce una transferencia máxima de la energía que disponible a la entrada.

Código

Figura 2: Magnitud y fase de filtro paso banda.

Con el siguiente código de Matlab representamos gráficamente la respuesta en frecuencia de magnitud y fase del circuito del ejemplo anterior. El resultado se muestra en la figura 2.

% Parámetros del circuito
L = 1e-3;  % Inductancia en Henrios
R = 10;    % Resistencia en Ohmios
C = 1e-6;  % Capacidad en Faradios
RL = 100;  % Resistencia de carga en Ohmios

% Rango de frecuencias para el análisis
f = logspace(1, 6, 1000);  % Frecuencia de 10 Hz a 1 MHz
w = 2 * pi * f;            % Frecuencia angular

% Impedancias de cada componente
ZL = 1j * w * L;              % Impedancia de la bobina
ZR = R;                       % Impedancia de la resistencia
ZC = 1 ./ (1j * w * C);       % Impedancia del condensador
ZRL = RL;                     % Impedancia de la resistencia de carga

% Impedancia total del circuito en serie-paralelo
Z_total = ZL + ZR + (ZC * ZRL) ./ (ZC + ZRL);

% Función de transferencia (H(w) = Vsalida / Ventrada)
H = ZRL ./ (ZC + ZRL) ./ Z_total;

% Magnitud de la respuesta en frecuencia en dB
H_dB = 20 * log10(abs(H));

% Fase de la respuesta en frecuencia en grados
H_phase = angle(H) * (180 / pi);

% Gráficos de la magnitud y fase de la respuesta en frecuencia
figure;

% Gráfico de la magnitud en dB
subplot(2, 1, 1);
semilogx(f, H_dB, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Frecuencia (Hz)');
ylabel('Magnitud (dB)');
title('Respuesta en frecuencia del filtro RLC serie - Magnitud');
grid on;

% Gráfico de la fase en grados
subplot(2, 1, 2);
semilogx(f, H_phase, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Frecuencia (Hz)');
ylabel('Fase (grados)');
title('Respuesta en frecuencia del filtro RLC serie - Fase');
grid on;