Serie de Fourier

En lo referente a señales, somo conocedores de que estas presentan, en cuanto a su duración temporal, una naturaleza de duración infinita (periódicas/aperiódicas, cuyo ancho de banda es finito) y también pueden ser de duración finita(cuyo ancho de banda es infinito).

En cuanto a las de duración finita, el paso de su estudio del dominio temporal al dominio frecuencial (transformado/Fourier), aplicamos las más que sonadas y conocidas Transformadas de Fourier, con sus propiedades y pares de uso más común recogidas en tablas.

No obstante, respecto a las señales de duración infinita (periódicas/aperiódicas), para realizar su paso del dominio temporal al frecuencial, lo que se aplica, más allá, de unas expresiones matemáticas equivalentes a las de partida con sus variables pertinentes, lo que se aplica es todo un proceso de estudio y transformación paso a paso de la señal de duración infinita en cuestión. Este proceso particularizado de forma global para estas señales, es la denominada Serie de Fourier.

Primeramente, considerando una señal x_p(t), la cual muestra la existencia de valores dentro del rango -ꝏ < x_p(t) < ꝏ, dada la imposibilidad de expresar dicha S.F. considerando el rango de valores completo, es necesario de partida tomar de referencia un único periodo de x_p(t).

Considerando dicho periodo, aplicamos las siguientes expresiones:

Ecuación de Síntesis: x_p(t)= $\textstyle \sum _{k={-\infty }}^{\infty }\displaystyle$c_k$\cdot$e^-j2$\pi$kf0t

donde el término , hace mención a los coeficientes de Fourier, y que cuyo cálculo se determina a través de la siguiente expresión:

Ecuación de Síntesis: c_k= (1/T₀)$\int \limits _{T0}^{}x_{p}(t)$$\cdot$e^-j2$\pi$kf0tdt

La Serie de Fourier, al igual que la Transformada, presenta una serie de propiedades:

• La transformación de la señal a su Serie de Fourier es invertible, es decir, podemos pasar a transformar su Serie de Fourier a la señal temporal pertinente.

• La Ecuación de Síntesis nos posibilita la reconstrucción de nuestra señal temporal a partir de la sumatoria de los coeficientes de su FS (su espectro).

• La Ecuación de Análisis, por su parte, no da la posibilidad de determinar los coeficientes de la FS (su espectro) de la señal x_p(t).

• Nuestra relación de transformación es:

x_p(t) ↔ c_k

l Asimismo, nuestra transformada dada por la FS es lineal, por lo que si consideramos dos señales, x_p(t) e y_p(t), ambas con periodo T₀, y que son tales que x_p(t) ↔ c_(x)k y y_p(t) ↔ c_(y)k, entonces, se cumple que:

z_p(t) = ax_p(t) + by_p(t) ↔ c_k = ac_(x)k + bc_(y)k

Esto nos implica que partiendo en tiempo de una combinación lineal de señales, la transformada y su correspondiente FS nos aporta la pertinente combinación lineal de sus coeficientes.

Si ahora exponemos un ejemplo, trabajaremos con esta señal pulso cuadrado periódica:

Si procedemos a analizarla, tomamos como referencia y punto de partida nuestro periodo central, {-T₀/2,T₀/2}, y considerando este periodo de trabajo, aplicamos la ecuación de análisis a fin de determinar los coeficientes de nuestra SF:

De forma que:

Podemos representar los coeficientes de la FS sobre un eje frecuencial simétrico que incluye frecuencias negativas, en el que:

• |c_k| proporcionará el espectro en magnitud

• θ_k proporcionará el espectro en fase

estando los coeficientes localizados a sus respectivas frecuencias ,  ∈ ℤ.

A fin de focalizar un poco más, y partiendo del ejemplo previo, si procedemos a realizar la particularización de que τ=T₀/4 → f₀=1/4τ ⇒  = , de modo que:

Y a partir de aquí, entonces, nuestro espectro nos queda como:

Siendo un poco observadores, vemos que nuestro espectro es a grandes rasgos, se constituye a modo de un tren de deltas donde cada impulso está multiplicado por el coeficiente de la FS correspondiente a la frecuencia donde está centrado el impulso:

Para nuestro ejemplo concreto, el espectro toma la forma:

Para señales periódicas (y de potencia) el espectro muestra tres características fundamentales:

• Es un espectro discreto, definido sólo en ciertas frecuencias(±). Todas las frecuencias son múltiplos enteros (llamados armónicos) de la frecuencia fundamental,  = 1/T₀.

• El espectro es bilateral. No hay que interpretar esto como que hay componentes de la señal con frecuencia negativa, sino que es la combinación de exponenciales complejas positivas y negativas la que nos permite recuperar la representación real de la señal. Así, si c_−k = c*_k :

c_k  + c_−k = |c_k|  + |c_k|  = 2|c_k| cos(2$\pi$kf₀t + θ_k)

• La componente DC (f = 0) es igual al valor promedio de la señal:

c₀ = c_k|k=0 = (1/T₀)$\int \limits _{T0}^{}x(t)$dt = < x(t) >

y deberá calcularse así siempre que evaluar c_k|k=0 conlleve problemas de

Indeterminación o ambigüedad.