Transformada Z

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de José Manuel Tacero Roncero, J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a los Sistemas de transmisión, bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Observaciones del docente: Este artículo requiere las mejoras indicadas a continuación: Respecto a la redacción original se han introducido adiciones y correcciones que el primer autor debe revisar. Como se ha indicado en otra entrada del mismo autor se utilizaba originalmente un texto extraído de Wikipedia que debe citarse adecuadamente. Aquí no se ha mantenido dicha referencia al haber sustituido ese texto de dudosa corrección conceptual (al menos que se defina adecuadamente el concepto "frecuencia compleja"). Se ha introducido una explicación que trata de clarificar precisamente el sentido físico de la variable z sin recurrir al concepto indefinido de "frecuencia compleja". En cuanto al código de Matlab, se ha eliminado parte del relativo al cálculo simbólico de una serie por no venir al caso. Las referencias bibliográficas están incompletas respecto a la norma APA y contienen un enlace roto (sería preferible sustiur la referencia correspondiente por una referencia pública y disponible).

Si bien la transformada z no es una herramienta que usemos normalmente para caracterizar las señales que atraviesan sistemas de transmisión de cara a evaluar o planificar la calidad de los mismos, supone, no obstante, una herramienta fundamental en el diseño de los sistemas digitales que conforman la cadena de transmisión. En particular, supone un recurso fundamental para estudiar los comportamientos transitorios de los sistemas discretos cuyo efecto puede ser decisivo a la hora de ajustar los tiempos de respuesta de los que dependen varios parámetros de calidad de los servicios de telecomunicación.

Definiciones

La transformada z permite representar una señal definida en el dominio del tiempo discreto, en una representación equivalente en un dominio transformado de variable compleja, z. En este dominio, el ángulo de la variable $z=r\cdot e^{i\omega }$ en coordenadas polares, $\omega$, representa la frecuencia de los procesos repetitivos de la señal (siendo $\pi$ la frecuencia máxima representable, es decir f_m/2) mientras que la distancia al origen, r, representa la amortiguación (r < 1) o crecimiento (r > 1) exponencial de la señal.

$x(n)\xrightarrow {z} X(z)$

$X(z)=Z\lbrace {x(n)}\rbrace =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\cdot z^{-n}=...x(-1)z+x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+...$

Aunque como ocurre con la transformada de Fourier la relación entre la representación en el dominio del tiempo y el de la transformada z es unívoca, en este caso la transformada inversa no se puede obtener tan fácilmente y normalmente se recurre a procedimiento indirectos. No obstante esta se define en términos de la integral de contorno definida sobre un contorno cerrado dentro de la región de convergencia.

$x(n)={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}{X(z)^{n-1}dz}$

Su papel en la caracterización y análisis de sistemas discretos es similar al de la transformada de Laplace en los sistemas continuos, existiendo una correspondencia asintótica entre ambas transformadas. Al igual que la transformada de Laplace en continua, la transformada z nos permite estudiar la estabilidad y respuesta transitoria de los sistemas discretos. Si bien las transformadas de Laplace y Fourier responden a los nombres de los matemáticos franceses cuyos trabajos fundamentaron sendas transformadas, el nombre de la transformada z procede simplemente del nombre de la variable del domino transformado.

Al igual que en señales continuas, la transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace (para valores imaginarios de la variable compleja del domino transformado s), en el caso de señales discretas la transformada de Fourier corresponde también a una particularización de la transformada z en la que la variable transformada se restringe al circulo unidad, es decir:

$z=r\cdot e^{i\omega }{\big |}_{r=1}=e^{i\omega }$

$X(\omega )=X\left(z=e^{-j\omega n}\right)$

Código

En Matlab el paquete de matemática simbólica permite obtener la transformada z de una señal discreta definida simbólicamente mediante la función ztrans(). En realidad se trata de la transformada z unilateral

$X^{+}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)\cdot z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\cdot u(n)\cdot z^{-n}$

Es decir, el resultado que nos proporciona ztrans() podemos interpratarlo, bien como la transformada z unilateral de x(n) o como la transformada z de $x(n)\cdot u(n)$ donde $u(n)$ es la función escalón unidad.

El ejemplo siguiente crea primeramente las variables simbólicas n y T usando el comando syms, para seguidamente definir la señal discreta $x(n)=sen(nT)\cdot e^{-nT}$ de la que se calcula su transformada z usando ztrans(). Finalmente la representa simbólicamente en texto plano usando pretty().

syms n T           % creación de las variables
yn = sin(n*T).*exp(-n*T);
Yn = ztrans(yn);   % transformada z
pretty(Yn);        % expresión simbólica en texto plano

Referencias

• Polonia, A. Control Digital con Matlab. La Transformada Z. Disponible en: https://www.ceduvirt.com/resources/Control%20Digital%20con%20Matlab.pdf
• MathWorks. Soporte. Documentación. ZTRANS. Disponible en: https://es.mathworks.com/help/symbolic/ztrans.html