Simetría de la señal

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Antonio Medina Ordoñez, J.M. Díaz Nafría, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a los Sistemas de transmisión, bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría.

Si bien las características de simetría de la señal no nos permiten distinguir cualidades relevantes de las señales que portan información, supone sin embargo, una distinción de gran valor de cara al análisis de las señales en general. Como se verá, cualquier señal puede descomponerse en una combinación de componente par e impar que tienen características en los dominios transformados de interés. Existen técnicas de codificación, de modulación y de tratamiento de la señal que explotan estas características, y desde este punto de vista estas características son de utilidad en evaluación, diseño y planificación de sistemas de transmisión.Las definiciones siguientes no solo son aplicables a señales discretas sino también a señales continuas en cuyo caso la variable independiente sería el tiempo.

Definiciones

Se dice que una señal real es simétrica o par si verifica:

$x(n)=x(-n)$ : señal par (1)

La transforma de Fourier de toda señal real y par, ${\mathcal {F}}\left\{x_{par}(n)\right\}$, es real.

Se dice que una señal real es antisimétrica o impar si verifica:

$x(n)=-x(-n)$ : señal impar (2)

La transforma de Fourier de toda señal real e impar, ${\mathcal {F}}\left\{x_{impar}(n)\right\}$, es imaginaria.

Toda señal se puede obtener como la suma de su componente simétrica (par), $x_{e}$, y su componente antisimétrica (impar), $x_{i}:$

$x(n)=x_{p}(n)+x_{i}(n)$ (3)

Utilizando las definiciones (1) y (2) en introduciéndolas en (3) se obtienen las componentes par e impar de la señal $x(n)$ como:

$x_{p}(n)={\frac {1}{2}}[x(n)+x(-n)]$

$x_{i}(n)={\frac {1}{2}}[x(n)-x(-n)]$

Código

Las siguientes funciones Matlab proporcionan las componentes par e impar, respectivamente, de una secuencia discreta cualquiera.

function x_e = par (x)
% function x_e = par (x)
% Esta función devuelve la componente par (o simétrica) de una secuencia
% obtenida de una función cualquiera
% ENTRADAS
%    x:     vector fila/columna
% SALIDAS
%    x_e:   vector fila/columna con la componente par de la secuencia 'x'
% Author:   amedina | Created: 2020-03-08
% Rev.  :   danielg, 2022-11-03

    arguments
        x {mustBeVector, mustBeNumeric}
    end

    x_e = 1/2*(x+flip(x));
end

function x_o = impar (x)
% x_o = impar (x)
% Esta función devuelve la componente impar (o asimétrica) de una secuencia
% obtenida de una función cualquiera
% ENTRADAS
%    x:     vector fila/columna
% SALIDAS
%    x_o:   vector fila/columna con la componente impar de la secuencia 'x'
% Author:   amedina | Created: 2020-03-08
% Rev.  :   danielg, 2022-11-03

    arguments
        x {mustBeVector, mustBeNumeric}
    end

    x_o = 1/2*(x-flip(x));
end