Señal sinc

La señal sinc, o seno cardinal, es una función matemática fundamental en el ámbito de las telecomunicaciones.

La señal sinc es esencial para comprender cómo las señales pueden ser transmitidas y recuperadas sin pérdida de información. Al actuar como una función de interpolación ideal, permite la reconstrucción perfecta de una señal continua a partir de sus muestras discretas respetando el límite de Nyquist establecido en el teorema de muestreo.

Definición

La señal sinc (normalizada) se define matemáticamente mediante la siguiente expresión:

{\text{sinc}}(t)={\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}

Para el caso especial cuando $t=0$ , su valor se define utilizando el límite:

{\text{sinc}}(0)=\lim _{t\to 0}{\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}=1

La función sinc es una función continua y diferenciable en todo su dominio, y presenta varias propiedades importantes:

Presenta una simetría par dado que se satisface que ${\text{sinc}}(t)={\text{sinc}}(-t)$

Su valor máximo está en $t=0$ donde alcanza el valor de 1.

Cuando $t={\text{±1, ±2, ±3, …}}$ tenemos que $sinc(t)=0$ por lo que sus ceros están en los enteros distintos de cero.

Código

En MATLAB, podemos representar la señal sinc siguiendo su definición matemática que es la que hemos dado anteriormente.

A continuación, se presenta un código crea una variable que va a almacenar nuestra función sinc y que posteriormente se representa gráficamente:

**Figura 1**: Representación gráfica de la señal sinc

% Parámetros de la señal 
T = 1; % Período de muestreo o escala temporal

% Establecemos el vector de tiempo 
t = linspace(-10*T, 10*T, 1000);

% Calculamos la señal sinc 
sinc_t = sin(pi * t / T) ./ (pi * t / T);

% Manejo del caso t = 0 para evitar indeterminación 
sinc_t(t == 0) = 1;

% Representación gráfica de la señal sinc 
figure; 
plot(t, sinc_t, 'LineWidth', 2); 
xlabel('Tiempo (t)'); 
ylabel('sinc(t)'); 
title('Representación de la Señal sinc'); 
grid on;

% Resaltado de los ceros de la función 
hold on; 
ceros = (-10*T:T:10*T); 
ceros(ceros == 0) = []; 

% Excluimos el cero para no resaltar el máximo 
plot(ceros, zeros(size(ceros)), 'ro'); hold off;

También, si queremos trabajar con ella de forma eficiente, MATLAB nos otorga la posibilidad de utilizar un atajo que nos permite no tener que escribir la función desde 0 utilizando la definición y declararla de la siguiente forma:

% Parámetros de la señal 
T = 1; % Período de muestreo o escala temporal

% Establecemos el vector de tiempo 
t = linspace(-10*T, 10*T, 1000);

y = sinc(t);

Propiedades Matemáticas Adicionales

La transformada de Fourier continua de la función sinc es una función rectangular:

rect(\omega )={\begin{cases}1&|\omega |\leq \pi \\0&|\omega |>\pi \end{cases}}

Esto establece una dualidad entre la función sinc en el dominio del tiempo y la función rectangular en el dominio de la frecuencia.

Referencias

Bosch, I., Castillo, J. G., Ricós, R. M., & Domínguez, L. V. (2015). Señales y Sistemas: teoría y problemas. Valencia: Universitat Politècnica de València

MATLAB Documentation - MathWorks España. (s.f.). Recuperado el 5 de diciembre, 2024, de https://es.mathworks.com/help/