Respuesta al impulso

Definiciones

La respuesta al impulso de un sistema es la salida que presenta dicho sistema cuando a la entrada se produce un pulso infinitamente corto y de amplitud infinita. Este pulso es imposible de obtener en un sistema real pero se utiliza como pulso ideal para la realización de cálculos matemáticos. Este tipo de pulso está representado por la función delta de Dirac (δ).

Sistemas continuos

Un sistema continuo se refiere a un sistema cuyas entradas y salidas son funciones continuas en el tiempo. Cuando se habla de un sistema continuo en la definición de la delta de Dirac, se hace referencia a cómo el sistema responde o interactúa con una señal que contiene una delta de Dirac, es decir, cómo un sistema continuo responde a una entrada que contiene una delta de Dirac y la respuesta al impulso del sistema se utiliza para caracterizar esa interacción.

En sistemas continuos la definición de la delta de Dirac sería la siguiente: $\delta (t)={\begin{cases}\infty ,&{\text{si }}t=0\\0&{\text{si }}t\neq \ 0\end{cases}}$
Teniendo en cuenta esto, la respuesta al impulso $h(t)$, es la función que determina cómo el sistema afecta al impulso de entrada, dando lugar a la función $y(t)$. Explicado de forma analítica: $y(t)=x(t)*h(t)$;

Siendo $x(t)$ la entrada al sistema, $h(t)$h(t) la respuesta al impulso e $y(t)$ la salida del sistema.
Dicha salida se consigue hallar mediante una operación de convolución entre $x(t)$ y $h(t)$, definiéndose esta en sistemas continuos como:

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle x(r)*h(t-r)dr$

Sistemas discretos

Un sistema discreto se refiere a un sistema en el que las variables de entrada y salida son definidas solamente en puntos discretos en el tiempo o en el espacio, solo tienen valores en momentos específicos, en lugar de ser continuas en todo el dominio. Un sistema discreto en la definición de la delta de Dirac en señales implica el uso de secuencias discretas que actúan como impulsos en puntos específicos, de manera análoga a cómo la delta de Dirac actúa como un impulso en el dominio continuo del tiempo.

En este caso la definición sería: $\delta (n)={\begin{cases}1,&{\text{si }}n=0\\0&{\text{si }}n\neq \ 0\end{cases}}$

En el caso de sistemas discretos, la operación de convolución entre la entrada y la respuesta al impulso se define de la siguiente manera:
$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]*h[n-k];$

Ejemplo conceptual:
Nos encontramos en una estudio de grabación, delante tenemos un medidor de sonido en forma de gráfica temporal. Nuestro impulso será el sonido que emite un globo al pincharse, se puede asemejar a un impulso de duración instantánea. Al pinchar el globo se observa en la gráfica como inicialmente se obtiene un pico de ruido seguido de varios picos más pequeños que finalmente desaparecen y vuelve a quedar la gráfica a cero. Bien, pues la respuesta al impulso sería el equivalente a cómo la sala de grabación afecta al impulso de tal forma que si conociéramos como cada punto de la sala afecta en la reflexión del sonido del impulso podríamos predecir la salida del sistema, es decir la gráfica de ruido final.

Código

Supongamos que la respuesta al impulso de un sistema es h(t), entonces la respuesta y(t) a una entrada x(t) se puede expresar como su convolución. Si la entrada es un impulso unitario δ(t), entonces la respuesta al impulso es simplemente h(t). Por lo tanto, la respuesta al impulso al aplicar un impulso unitario sería:

$y(t)=\delta (t)*h(t)=h(t)$

Esto significa que la respuesta del sistema a un impulso unitario es igual a la propia respuesta al impulso del sistema.

Un ejemplo concreto, podríamos tener una función de respuesta al impulso

$h(t)=e^{(}-t)*u(t)$

Donde u(t) es la función escalón unitario. En este caso, la respuesta al impulso al aplicar un impulso unitario sería la propia h(t)

Para resolver este ejercicio en MATLAB, primero definiremos la función de respuesta al impulso h(t) y luego convolucionaremos con el impulso unitario. Aquí está el código MATLAB correspondiente:

% Definir la función de respuesta al impulso
t = 0:0.01:5;  % Definir el rango de tiempo
h = exp(-t) .* (t >= 0);  % h(t) = e^(-t)u(t)

% Graficar la respuesta al impulso
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, h, 'LineWidth', 2);
title('Función de respuesta al impulso h(t)');
xlabel('Tiempo');
ylabel('h(t)');
grid on;

% Aplicar el impulso unitario (convolución)
delta = zeros(size(t));
delta(1) = 1;  
y = conv(delta, h) * 0.01;  

% Graficar la respuesta al impulso al aplicar un impulso unitario
subplot(2,1,2);
t_conv = 0:0.01:(length(y)-1)*0.01;  % Rango de tiempo para la convolución
plot(t_conv, y, 'LineWidth', 2);
title('Respuesta al impulso al aplicar un impulso unitario');
xlabel('Tiempo');
ylabel('y(t)');
grid on;