Relación señal a ruido

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de José María Díaz Nafría, Juan Muñoz Roche, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de José María Díaz Nafría.

Definiciones

La relación señal a ruido (comúnmente abreviada como SNR por sus siglas en inglés, Signal to Noise Ratio) es la relación existente entre la potencia de la señal de comunicaciones y la potencia del ruido que la corrompe a la salida de un canal de comunicaciones, que puede indicarse en unidades naturales o decibélicas (ver nivel decibélico). Constituye uno de los parámetros fundamentales que determinan la calidad de la señal en un sistema de transmisión, especialmente si éste es analógico o incluso en los digitales en las etapas previas al demodulador digital.

El ruido, con el que se compara la señal, puede referirse a alguna perturbación específica, pero es frecuente que englobe el conjunto de perturbaciones que hacen que la señal a un lado y otro del canal sea diferente, es decir, si $y(t)$ y $n(t)$ son respectivamente la señal y el ruido a la salida de un canal, entonces $y(t)-n(t)$ es una réplica de la señal de entrada $x(t)$ escalada en amplitud. Es decir, $y(t)=x(t)/\alpha +n(t)=x'(t)+n(t)$, donde $\alpha$ corresponde al factor de atenuación del canal y $x'(t)$ a la réplica (atenuada) de la señal original, cuya potencia, $S=P_{x'}$, es la que comparamos con la potencia de la señal de ruido $N=P_{n}$ (ver la definición de potencia en el artículo señal):

$SNR={\frac {S}{N}}$ [en unidades naturales] ó en decibelios: $SNR(dB)=10\cdot \log _{10}\left({\frac {S}{N}}\right)$

La relevancia de este parámetro en la caracterización del canal de comuniciones se obserca en cómo éste determina la cantidad de información que podemos llegar a transmitir por un canal. En efecto, de acuerdo al teorema de capacidad de canal de Shannon, la máxima cantidad de información por unidad de tiempo que podemos transportar a través del canal (con tan pocos errores como queramos) depende logarítmicamente de la relación señal a ruido disponible a la salida del canal y linealmente del ancho de banda del mismo:

$C=B\cdot \log _{2}\left({\frac {S+N}{N}}\right)=C=B\cdot \log _{2}\left(1+{\frac {S}{N}}\right)$ [bit/s]

Obsérvese que S+N es la potencia de la señal disponible a la salida del canal, incluido el ruido. Es decir, el número de veces que la potencia de la señal de salida dobla al ruido supone el máximo número de bits que podemos transmitir por segundo por cada hercio de ancho de banda disponible. El que nos aproximemos más o menos a ese máximo depende de la complejidad que empleemos en la codificación y modulación de la señal.

Código

La siguiente función -elaborada para Matlab- permite determinar la relación señal a ruido existente entre dos secuencias correspondientes a la señal y al ruido aportadas como argumentos, cuya longitud se supone que debe ser identica.

function snr_dB = snr(x,n)
% La función determinar la relación señal a ruido entre las secuencias de señal y ruido cuya longitud debe ser identica.
% ENTRADA
%   x:      secuencia de la señal
%   n:      secuencia del ruido
% SALIDA
%   snr_dB: relación señal a ruido en dB
if length(x) ~= length(n)
   error('La longitud de las secuencias de señal y ruido debe ser idéntica.'), 
end
snr_dB = 10*log(sum(x.^2)/sum(n.^2));
end