Propiedades de la Transformada de Fourier

HISTORIA

En 1822, Joseph Fourier publicó el libro “Teoría analítica del calor”. En su libro estableció una ecuación diferencial parcial que determinaba la difusión del calor. Fue así cómo sin saberlo, Fourier descubrió una solución matemática que facilitaba todo tipo de trabajos en materia de telecomunicaciones(entre otras). El matemático logró determinar que una función podía ser descompuesta en una suma de cosenos y senos. Así, una función periódica que en principio podría resultar complicada, se podía descomponer en una suma de funciones más sencillas.

SERIE DE FOURIER

Tal y como su nombre indica, se trata de una serie matemática. Esta serie nos permitirá, a partir de una función dada, determinar funciones más sencillas que sumadas componen la original. Sin embargo, en el mundo de las telecomunicaciones no hablamos de funciones sino que lo hacemos de señales. Una señal es una función que transmite información(voltaje, presión sonora, temperatura, etc) y que depende de una o más variables independientes(tiempo , espacio, etc) .

Supongamos que tenemos una señal periódica x(t) de periodo T. Esta se puede representar a partir de su Desarrollo en Serie de Fourier:

$X(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{C_{k}e^{j{\frac {(2\pi )}{T}}kt}}$

Donde:

$C_{k}={\frac {1}{T}}\int _{<T>}{x(t)e^{-j{\frac {(2\pi )}{T}}kt}}$

A los valores que toma C_k se les denomina coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier.

TRANSFORMADA DE FOURIER

Sin embargo, la serie de Fourier no deja de ser una peculiaridad de las señales que son periódicas. Cuando una señal no es periódica recurrimos a lo que se denomina Transformada de Fourier. Esta, al igual que la serie de Fourier, nos permite representar una señal como una sumatoria de infinitas sinusoides complejas. Esto implica un nuevo dominio de representación. Si antes solíamos representar, en nuestro caso, las señales en función del tiempo, ahora lo haremos en el dominio de la frecuencia.

La Transformada de Fourier vendrá dada por:

$X(w)=\int _{-\infty }^{\infty }{x(t)e^{-j2\pi ft}dt}$

Esta transformada contiene la misma información que x(t) pero en el dominio de la frecuencia. Se dice así que x(t) y X(w) forman un par transformado: $x(t)\leftrightarrow X(w)$

Además, si queremos calcular la señal original a partir de su transformada, tenemos que:

$x(w)=\int _{-\infty }^{\infty }{X(f)e^{j2\pi ft}df}$

A esta última ecuación se la conoce como Transformada Inversa de Fourier.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Una vez realizada esta introducción, podemos tratar el tema que nos concierne. La Transformada de Fourier tiene ciertas propiedades que han de tenerse en cuenta. Aquí, podemos encontrar solo alguna de ellas:

- Linealidad → $ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\leftrightarrow aX_{1}(w)+bX_{2}(w)$

- Desplazamiento → $x(t-t_{0})\leftrightarrow X(w)e^{-j2\pi t_{0}}$

- Convolución → $x_{1}(t)*x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(w)X_{2}(w)$

- Multiplicación → $x_{1}(t)x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(w)*X_{2}(w)$

- Dualidad → $x_{1}(t)\leftrightarrow 2\pi X_{1}(-w)$

- Diferenciación en el tiempo → ${\frac {dx_{(}t)}{t}}\leftrightarrow jwX(w)$

- Diferenciación en la frecuencia → $(-jt)x_{(}t)\leftrightarrow jw{\frac {dx_{(}w)}{w}}$

- Escalamiento en el tiempo → $x_{1}(at)\leftrightarrow {\frac {1}{|a|}}X_{1}({\frac {w}{a}})$

- Inversión del tiempo → $x(-t)\leftrightarrow X(-w)$

Como podemos observar, toda operación en el dominio del tiempo tiene su consecuencia también en el dominio de la frecuencia y viceversa. A la hora de calcular la Transformada de Fourier de las señales, estas propiedades nos ayudarán a facilitar el proceso. Estas propiedades también se aplican en el caso discreto.

CÓDIGO

En la página web oficial de Matlab podemos encontrar el cómo calcular la Transformada de Fourier de una señal una vez esta esté definida. Para ello, no tenemos más que utilizar el comando FFT . A continuación se deja un ejemplo de su utilización:

Fs = 1000;            % Frecuencia                
T = 1/Fs;             % Periodo      
L = 1500;             % Longitud de la señal
t = (0:L-1)*T;        % Vector de tiempo

S = 0.7*sin(2*pi*5*t) % Definición de la señal
Y = fft(S);           % Transformada de Fourier de la señal S

Para realizar la representación gráfica de Y habría que definir un correcto dominio en la frecuencia.