Impedancia de entrada de una línea de transmisión

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Antonio Jesús Muñoz Montoro, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a la "Tecnología de microondas", bajo la supervisión de Antonio Jesús Muñoz Montoro.

Las líneas de transmisión se emplean para transmitir energía electromagnética de un punto a otro, y más específicamente desde una fuente hasta una carga. Existen múltiples ejemplos de líneas de transmisión, como la conexión entre un transmisor y una antena, o la conexión entre un proveedor de servicios de cable y un aparato televisor. El factor común de estos ejemplos es que la distancia que separa a los diferentes elementos a conectar es del orden de una longitud de onda o más, mientras que en los métodos de análisis básico de circuitos se supone que las conexiones entre elementos se ubican a distancias despreciables. Cuando la distancia entre la fuente y la carga es lo suficientemente grande, los efectos del retardo de tiempo son considerables, lo que resulta en la existencia de diferencias en fase inducidas por el retardo.

Un aspecto fundamental a considerar en los sistemas de comunicación que emplean líneas de transmisión consiste en garantizar que la energía de la señal electromagnética emitida por la fuente debe transferirse de forma óptima a lo largo de la línea hasta la carga. La transferencia máxima de la potencia se logra, en el sentido clásico de teoría de circuitos, cuando se produce una adaptación entre los circuitos previos a la línea y ésta misma. La impedancia de entrada nos permite caracterizar la línea desde el punto de vista de la teoría de circuitos y así abordar un aspecto tan fundamental como el de la adaptación.

Definiciones

Suponiendo que la línea de transmisión está conectada a un generador, podemos definir la impedancia de entrada de la línea como la relación entre los fasores que caracterizan la onda de tensión de entrada y la onda de corriente de entrada:

$Z_{e}={\frac {V_{ent}}{I_{ent}}}=R_{e}(f)+jX_{e}(f)$

donde

• R_e es la parte real de la impedancia de entrada y
• X_e su parte imaginaria.

No debe confundirse la definición anterior de la impedancia en términos de la relación fasorial entre las ondas de tensión y corriente entrantes, con la relación entre las tensión y corriente existente en bornas de la línea, ya que si no se produce adaptación la tensión será el resultado de la superposición de la onda entrante y la saliente.

De acuerdo a la teoría clásica de circuitos, la máxima transferencia de potencia entre el circuito previo a la línea (el generador) y ésta, cuando sus respectivas impedancias están en relación conjugada. Por tanto, si la impedancia del generador fuera real, Z_g, la línea estará óptimamente adaptada cuando R_e=Z_g. En general el coeficiente de reflexión será:

$\Gamma ={\frac {V_{r}}{V_{i}}}={\frac {Z_{e}-Z_{g}}{Z_{e}+Z_{g}}}=R_{e}(f)+jX_{e}(f)\in \mathbb {C}$

donde $V_{r}$ y $V_{i}$ denotan las tensiones de las ondas reflejada e incidente respectivamente.

El coeficiente de reflexión nos permite determinar el coeficiente de onda estacionaria:

$s={\frac {1-|\Gamma |}{1+|\Gamma |}}\in \mathbb {R}$

Código

El siguiente código calcula el coeficiente de reflexión y el coeficiente de onda estacionaria a la entrada de una línea de transmisión dada la longitud de la línea, la constante de fase y el coeficiente de reflexión en la carga.

function [rho_e,s]=calcular_COE(l,beta,rho_0)
% [rho_e,s]=compute_COE(l,beta,rho_0)
% Calcula el coeficiente de reflexión y el coeficiente de onda estacionaria
% a la entrada de una línea de transmisión dada la longitud de la línea, la
% constante de fase y el coeficiente de reflexión en la carga.
% ENTRADA
%   l:      Longitud de la línea
%   beta:   Constante de fase
%   rho_0:  Coeficiente de reflexión en la carga
% SALIDA
%   rho_e:    Coeficiente de reflexión a la entrada de la línea
%   s:      Coeficiente de onda estacionaria
rho_e = rho_0*exp(-2i*beta*l);         % Coeficiente de reflexión
s = (1+abs(rho_e))./(1-abs(rho_e)); % Coeficiente de onda estacionaria
end

Cálculo de la impedancia de entrada en una línea sin pérdidas

Suponiendo una línea de transmisión de longitud l a la que está conectada una impedancia de carga Z_L, como en la figura: Se obtiene la impedancia de entrada al principio de esa línea como sigue:

$Z_{in}=Z_{0}{\dfrac {Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta l)}}$

Clasificación de impedancias

• Impedancia de onda se refiere a la relación de una componente del campo eléctrico a una del campo magnético en el mismo punto de la misma onda TEM, la impedancia de onda es la misma impedancia intrínseca, pero para modos de orden superior.

• Impedancia intrínseca se refiere a la razón de campos fasoriales E y H para una onda plana (TEM) en un medio no limitado.

• Impedancia característica se refiere a la relación de los fasores de tensión y de corriente en una línea de transmisión infinita de dos conductores.

• Impedancia de onda de los modos TE y TM. Las guías de onda se comportan como filtros pasa altas y existirá un región de corte y una de paso para un modo determinado. A partir de la frecuencia de corte:
  • La relación entre las magnitudes tanto del campo eléctrico como del magnético en la dirección de propagación no permanecen constantes
  • Dependen de la frecuencia