Energía

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de Daniel Gracia Garallar, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a "Métodos numéricos y transformadas", bajo la supervisión de Isaac Seoane.

Observaciones del docente: Este artículo requiere las mejoras indicadas a continuación: El contenido de este artículo habría que armonizarlo con lo referido en el artículo señal, mostrando la relación real que tiene con el sentido físico de energía. Para que pueda aumentar la generalidad del contenido clarificado sería de interés empezar por el concepto físico de energía.

Definiciones

En el ámbito de señales y sistemas, definimos la energía de una señal continua $x (t)$ como:

$E_{x} = \int_{- \infty}^{\infty} | x (t) |^{2} d t$

De forma análoga, definimos la energía de una señal discreta $x [n]$ como:

$E_{x} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} | x [n] |^{2}$

Atendiendo a la definición, cualquier señal periódica tendrá una energía media infinita. Resulta entonces útil definir la energía de una señal continua y periódica $y (t)$ dentro de su período $T$ como:

$E_{y} = \int_{- T / 2}^{T / 2} | y (t) |^{2} d t$

De forma análoga, definimos la energía de una señal discreta y periódica $y [n]$ dentro de su período $N$ como:

$E_{y} = \sum_{n = 1}^{N} | y [n] |^{2}$

Señal de energía

Llamamos señal de energía, o señal definida en energía, a toda aquella señal continua o discreta para la que se cumple $0 < E < \infty$ . Este tipo de señales muestra las siguientes características:

Las señales de duración finita son siempre señales de energía, ya que el resultado de su integral o sumatorio tendrá un valor real.
Una señal de duración infinita podría presentar energía finita o infinita.
Las señales periódicas en el intervalo $(- \infty, \infty)$ siempre presentarán energía infinita.
Una señal de energía no puede ser a la vez una señal de potencia.

Aplicación

Nótese que esta definición se toma por conveniente y aunque, según los casos, puedan establecerse analogías directas con el concepto físico de energía, esto no tiene por qué ser necesariamente así. Por ejemplo, podemos resolver la energía de una señal que represente el cambio de temperatura de un cuerpo respecto al tiempo, pero se deduce fácilmente que semejante energía no estará expresada en julios, ya que para ello necesitaríamos conocer más información sobre el sistema (calor específico del material, masa del sistema, etc.). Por otro lado, esta falta de concreción no anula el sentido práctico del cálculo ya que, a pesar de no tener información absoluta sobre la realidad física del sistema (p. ej., ¿cuánto calor estoy almacenando?), la expresión sí presenta información relativa sobre el mismo (p. ej., ¿qué porción de energía pierdo respecto a $t$ ?), quizás suficiente -y valorar esto queda como ejercicio al lector- para nuestros propósitos de estudio.

Podríamos igualmente estudiar la energía de la curva de evolución de la tasa de cambio de cualquier divisa extranjera respecto al tiempo; este cálculo no tendría una traslación inmediata al mundo físico, pero podría ser una herramienta analítica útil para el estudio de la señal, como en el caso de la evolución de la energía del cuerpo caliente anterior.

Así, concluimos que la intención de esta definición de energía es poner a disposición una herramienta conceptual que permita obtener una razón más de evolución de una variable dependiente en función de una variable independiente (generalmente, el tiempo), con ánimo de estudiar la naturaleza de su desarrollo.

Código

La siguiente función de MATLAB permite calcular la energía de una señal discreta:

function E = energia_d(x)
%% Calcula la energía de una señal discreta
% ENTRADAS:
%   x: vector fila o columna conteniendo las muestras de la señal.
% SALIDAS:
%   E: energía de la señal.

    arguments
        x {mustBeVector, mustBeNumeric}
    end

    E = sum(abs(x).^2);
end

Referencias

Bosch Roig, I., Gosálbez Castillo, J., Miralles Ricós, R., & Vergara Domínguez, L. (2015). Señales y Sistemas: teoría y problemas. Colección Académica. Editorial UPV.
Oppenheim, A. V., Buck, J., Daniel, M., Willsky, A. S., Nawab, S. H., & Singer, A. (1997). Signals & systems. Pearson Educación.