Correlación cruzada

From glossaLAB

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de José María Díaz Nafría, Daniel Francisco Naranjo Dávila, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en "teoría de la señal y la comunicación", bajo la supervisión de José María Díaz Nafría.

Observaciones del Docente: Este artículo requiere las mejoras indicadas a continuación:
  • Sería importante agregar definiciones de la correlación en términos estadísticos, así como su relación con las deiniciones aportadas para señales determinísticas o realizaciones temporales únicas.


Definiciones

En general se utiliza el término correlación para hablar de la relación o correspondencia que existe entre dos o más cosas o agrupaciones de cosas.[1] Sin embargo, en los ámbitos de la estadística y la teoría de la señal y la comunicación la correlación tiene un sentido más específico que se concreta en definiciones matemáticas. Entre las acepciones de estos dos ámbitos de conocimiento existe una relación estrecha, en particular cuando se consideran las señales como procesos estocásticos, ya que en estas circunstancias la teoría de la señal y la estadística van de la mano. Sin embargo, en teoría de la señal se habla también de correlación entre señales determinísticas o entre realizaciones concretas de dos señales, siendo estas definiciones convergentes con las ofrecidas para procesos estocásticos cuando se cumplen determinadas condiciones. Por esta razón la definición estadística goza de precedencia respecto a la de teoría de la señal, pero nos centraremos aquí en correlación definida para realizaciones concretas de señales, caracterizadas por su desarrollo temporal, que denotaremos como en tiempo discreto y en tiempo continuo.

Correlación de señales definidas por una única realización temporal

La correlación nos permite medir el parecido entre dos señales, siendo de muy variada aplicación, por ejemplo, para buscar una señal en una medición, para distinguir una señal que está enmascarada por ruido en recepción, para buscar periodicidad de la señal mediante autocorrelación.[2]

La operación de correlación cruzada para señales definidas en energía (v. señal), tanto discretas como continuas, se define como:

En tiempo discreto En tiempo continuo

Siendo e dos señales reales con energía finita y (o en continuo) el desplazamiento en el tiempo o retardo. Como puede verse en la definición anterior la operación consiste en hacer una suma o integral completa del producto de una de las señales, que se queda fija, y otra que se va desplazando. Podemos considerar que es la referencia e la señal comparada.

En el caso de que las señales no estén definidas en energía, sino en potencia, las definiciones anterior no sería convergentes, y por tanto, se define como:

En tiempo discreto En tiempo continuo

Como puede verse, se hace una suma o integral limitada a un tiempo de comparación y promediada a su duración ( o ), y se busca el valor hacia el cual tiende al ampliar el tiempo de comparación. En el caso de tratarse de señales periódicas, o de un periodo común de repetición, es fácil ver que dicho límite tiene al valor en el que el tiempo de comparación coincide exactamente con dicho periodo de repetición común. Se evidencia además que en esas circunstancias la correlación, tal y como está definida, será periódica.

Por simplicidad en las expresiones, nos referiremos en lo sucesivo a la correlación para señales definidas en energía, siendo su extensión a señales definidas en potencia inmediata a partir de las relaciones anteriores.

Inversión de la comparación

Si se invierte el orden de los índices, y por tanto la señal que se desplaza y la que está fija, invertimos el orden de comparación, manifestándose la no conmutatividad de la correlación cruzada a la que nos referimos más abajo en sus propiedades:

En tiempo discreto En tiempo continuo

Autocorrelación

Se habla de autocorrelación cuando la operación de correlación se hace sobre una única señal, es decir, cuando la señal se compara con ella misma desplazada. Su expresión en tiempo discreto y continuo será, respectivamente:

En tiempo discreto En tiempo continuo

Correlación en el dominio de la frecuencia

Si bien, como hemos visto, la correlación no tiene una definición en el tiempo propiamente dicho, sino en el desplazamiento temporal, la dimensión de comparación es de carácter temporal y, por tanto, podemos hablar de su equivalente en el dominio de la frecuencia, aunque recordando que su transformación inversa nos devuelve al espacio de los desplazamientos temporales. Teniendo en cuenta la relación existente con la convolución, a la que nos referimos más abajo, es fácil probar que si se trata de señales reales, la correlación corresponde, en el dominio de la frecuencia, al producto de las transformadas de Fourier (estando la segunda señal conjugada):

En tiempo discreto En tiempo continuo

Y en consecuencia, la autocorrelación corresponde en el dominio de la frecuencia a la densidad espectral de energía (d.e.e.) o densidad espectral de potencia (d.e.p), dependiendo de si la señal está definida en energía o potencia respectivamente:

En tiempo discreto En tiempo continuo

Propiedades de la correlación

Simetría

A partir de las anteriores definiciones de la correlación puede fácilmente probarse que la correlación cruzada no es conmutativa, aunque simétrica:

En tiempo discreto En tiempo continuo

En el caso de la autocorrelación esta simetría se traduce en que se trata de una función par:

En tiempo discreto En tiempo continuo
Valor máximo y relación con la energía

Otra importante propiedad es que la autocorrelación en el origen es máxima e igual a la energía de la señal o la potencia, dependiendo de cómo esté definida la señal (v. señal):

En tiempo discreto En tiempo continuo
Relación con la convolución

La operación de correlación es similar a la convolución excepto en que no se refleja previamente la señal que se desplaza, pudiéndose calcular la correlación cruzada en los dominios discreto y continuo respectivamente como (Proakis, Manolakis, 2007: p.103-107):

En tiempo discreto En tiempo continuo

Código

MATLAB ofrece la función xcorr para obtener el cálculo de la correlación.[3] Si se quiere calcular la autocorrelación:

c = xcorr(x);

Para el cálculo de la correlación cruzada de dos secuencias:

c = xcorr(x,y);

La función también devuelve los retardos para representar el resultado de forma gráfica de la siguiente forma:

[c, lags] = xcorr(x,y);

Referencias

  1. Real Academia Española (s.f.). Correlación. En Diccionario de la lengua española (23ª ed., edición en línea). Consultado el 14/06/2023 de: [1]
  2. Proakis, J.G., Manolakis, D.G. (2007). Tratamiento digital de señales. Madrid: Pearson Educación.
  3. Mathworks (s.f.) xcorr. Correlación cruzada. Centro de Ayuda de Mathworks. Recuperado el 14 de junio de 2023 de https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/xcorr