Agrupaciones de antenas

[gL.edu] Este artículo recoge contribuciones de J.M. Díaz Nafría, Mario José Ruiz Asenjo, elaboradas en el contexto de la Clarificación conceptual en torno a las Antenas, bajo la supervisión de J.M. Díaz Nafría y Fernando Rodríguez Varela.

Las agrupaciones constituyen, junto con las antenas alámbricas y de apertura, uno de los tipos más comunes de antenas utilizados (categorización que no es ni canónica, ni exhaustiva).

Definiciones

Una agrupación de antenas consiste simplemente en la combinación de varios elementos radiantes o antenas elementales que permiten lograr unas características de radiación que normalmente no pueden lograrse mediante un único elemento. Para ello las antenas elementales se distribuyen en el espacio de un modo normalmente regular y las señales que se envían o reciben a cada elemento radiante (desde un punto común) tienen una amplitud y fase determinada. La superposición de los campos radiados por el conjunto es el que ofrece las características de directividad deseadas.

Figura 1: Agrupación de antenas con variación de fase para conformación de haz orientable (Fuente: Wikimedia).

La razón de recurrir a las agrupaciones reside en el hecho de que para lograr una radiación muy directiva se requeriría distribuciones de corriente bastante homogénea a lo largo de varias longitudes de onda, pero la estructura de los campos electromagnéticos (expresadas por las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno) hacen que esa distribución no sea posible. Sin embargo, sí podemos lograr una distribución muestreada por medio de elementos radiantes finitos distribuidos regularmente que los alimentemos de modo que sus corrientes tengan la relación de amplitud y fases que deseemos, y precisamente esto es lo que nos permite lograr un diagrama de radiación equivalente al de distribuciones continuas, de modo similar a cómo la discretización de una señal nos permite recuperar la forma original si el muestreo cumple con el criterio de Nyquist. En radioastronomía esta posibilidad es de gran utilidad para el estudio del espacio profundo, ya que la combinación de las señales de varios radiotelescopios distribuidos a lo largo de grandes distancias permite lograr directividades que solo sería posibles mediante antenas de tamaños gigantescos.

En algunos casos las agrupaciones incluyen elementos radiantes que no son activos sino pasivos o parásitos, esto es, que no se alimentan directamente sino que su radiación se debe a las corrientes inducidas causadas por las interacciones con los demás elementos a través de las impedancias mutuas.

Agrupación lineal uniforme

Puede fácilmente demostrarse que el campo radiado por una agrupación lineal uniforme, esto es, una agrupación de antenas elementales idénticas equiespaciadas, que para su análisis podemos considerar distribuidas en la dirección z es :

${\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {E}}_{0}({\boldsymbol {r}})\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}e^{jn\psi }$

donde

${\boldsymbol {E}}_{0}$ es el campo generado por una de las antenas elementales,

$a_{n}\in \mathbb {C}$ es la amplitud y fase de alimentación de cada antena elemental y

$\psi =kd\cos \theta +\alpha$, o ángulo eléctrico que, a su vez, depende de:

k la constante de fase,

d la distancia entre antenas elementales,

$\theta$ el ángulo formado con z y

$\alpha$ el desfase entre las señales de alimentación de dos antenas elementales consecutivas.

Como puede observarse en la relación anterior el campo radiado por la agrupación está constituido por dos factores fundamentales, el campo generado por la antena elemental y un factor que sólo depende de la alimentación de la antena, la distancia entre elementos y la frecuencia de operación, denominado factor de agrupación:

${\mathit {FA(\psi )}}=\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}e^{jn\psi }$

Este factor, que correspondería al diagrama de radiación de una agrupación de antenas isótropas, constituye uno de los principales objetos de diseño de las antenas de agrupación y el que ofrece mayor flexibilidad en cuando a la creación de antenas con capacidades directivas dinámicas. Debe observarse, a tenor de la anterior relación matemática del factor de agrupación, un aspecto formal de gran relevancia: el factor de agrupación equivale a la transformada de Fourier de la secuencia discreta de coeficientes de alimentación finitos $a_{n}$. Esto es coherente con el hecho de que el diagrama de radiación en campo lejano es la transformada de Fourier de la distribución de corrientes del sistema radiante.

${\mathit {FA(\psi )}}={\mathcal {F}}{\begin{Bmatrix}{a_{n}}\end{Bmatrix}}$

Figura 2: Representación del margen visible del factor de agrupación que corresponde a las direcciones con sentido físico (Fuente: Cardama et al, 2002).

Puede fácilmente probarse que si los coeficientes son reales y positivos, el FA es máximo cuando $\psi$ sea nulo, esto es cuando $kd\cos \theta =0$, e.d., $\theta =\pi /2$, lo cual puede interpretarse físicamente como la dirección en la que los campos radiados se suman en fase. Este tipo de agrupaciones, en las que el máximo de radiación se produce en el plano perpendicular a la dirección de agrupación se denomina agrupación transversal o broadside (según su designación en inglés).

En otras condiciones, como la representada en la figura 1, $kd\cos \theta +\alpha =0$, e.d. $\theta _{max}=arcos(-\alpha /kd)$ lo que requiere que $|\alpha |\leq kd$, que equivale a decir que dicho máximo coincida con el margen visible de $\psi$, ya que éste solo está definido para valores del ángulo $\theta$ entre 0 y $\pi$; lo que corresponde al márgen visible de $\psi$

$\psi \in \left[-kd+\alpha ,kd+\alpha \right]$.

Por tanto, del FA, que analíticamente puede describirse para cualquier valor de $\psi$, solo la zona correspondiente del margen visible es la que se traduce en el diagrama de radiación real.

El análisis anterior nos permite considerar tres efectos fundamentales de los parámetros básicos de la agrupación sobre las características de radiación de las antenas de agrupación:

• Efecto del desfase entre elementos consecutivos: a partir de las relaciones anteriores, puede fácilmente deducirse que variando el valor de $\alpha$ podemos cambiar la orientación de la antena haciendo que pueda apuntar en cualquier dirección. Ya hemos visto la situación en la que no existe desfase entre elementos consecutivos, es decir, cuando $\alpha =0$ (agrupación transversal o broadside). En ese caso la dirección de máxima radiación es perpendicular a la dirección de agrupación, y será diferente si hacemos que el desfase no sea nulo. El caso extremo lo constituiría aquel en el que el apuntamiento coincide con la dirección del eje de agrupación, que de acuerdo a las relaciones anteriores implica una fase progresiva $\alpha =\pm kd$. Este tipo de agrupaciones se denominan agrupaciones longitudinales o endfire (según su designación en inglés).
• Efecto del espaciado entre elementos consecutivos: según la anterior definición del margen visible (representada en la fig.2) es evidente que mientras $d<\lambda /2$ dentro del márgen visible, $\psi _{MV}\in [-\pi +\alpha ,\pi +\alpha ]$, solo podrá haber un máximo de radiación; mientras que si $d\geq \lambda$, el márgen visible, $\psi _{MV}\in [-2\pi +\alpha ,2\pi +\alpha ]$, contendrá dos o más máximos, denominados lóbulos de difracción. De manera más concreta, usando la anterior definición del apuntamiento, $kd\cos \theta _{max}=-\alpha /kd$, podemos entonces decir que aparecerán lóbulos de difracción siembre que $d\geq \lambda /(1+|\cos \theta _{max}|)$.
• Efecto debido al número de elementos: en virtud de las propiedades de la transformada de Fourier, resulta obvio que cuanto mayor sea el nº de elementos (mayor la longitud de la secuencia ${\begin{Bmatrix}{a_{n}}\end{Bmatrix}}$) menor podrá ser la anchura del lóbulo principal y, en consecuencia, mayor la directividad. No obstante, dicha anchura dependerá además del tipo de distribución de corrientes (siendo mínima para el caso de la distribución uniforme).

Código

Figura 3: Factor de antena de una agrupación lineal de 10 elementos distanciados media longitud de onda con un desfase entre elementos de $-\pi /2$, obtenido mediante la función FA().

La siguiente función calcula el factor de antena de una agrupación lineal de antenas, que lo devuelve como parámetro de salida, y lo representa en forma polar a partir de los coeficientes de alimentación, la distancia entre los elementos y el desfase entre elementos consecutivos. La fig.3 se ha obtenido mediante la ejecución de la función para una agrupación de 10 elementos separados $d=\lambda /2$ con distribución homogénea de amplitudes y un desfase de $-\pi /2$ entre elementos consecutivos.

function F = FA(a,d,alpha,f)
% function F = FA(a,d,alpha,f)
% Genera el factor de una antena de agrupación y lo representa en forma polar 
% a partir de los coeficientes de alimentación, la distancia entre los
% elementos y el desfase entre elementos consecutivos.
% ENTRADAS
%   a:     vector de coeficientes de alimentación
%   d:     distancia entre antenas elementales
%   alpha: desfase entre antenas elementales consecutivas
%   f:     frecuencia de trabajo
% SALIDAS
%   FA:    factor de antena

N = numel(a);                % Nº de elementos de la agrupación
k = 2*pi*f/3e8;              % constante de fase
theta = 0:0.005:pi;          % ángulo respecto a la dirección del array
psi = k*d*cos(theta')+alpha; % ángulo eléctrico
n = 0:N-1;                   % índice de las antenas
F = exp(1i*psi*n)*a';        % Factor de antena
polarplot(theta,abs(F))      % Genera un diagrama polar del FA
end