Draft:Transformada z inversa

Definición

Cuando se utiliza la transformación Z, encontrar x[n] suele ser muy útil para X(z).

$X(z)=\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]z^{-n}$

Esto se puede hacer al menos de 4 maneras diferentes:

Control
Expandir fracciones parciales
Extensión de línea eléctrica
Integración fronteriza

Método de Inspección

Este “método” consiste básicamente en familiarizarse con las tablas de pares de transformación z y luego “realizar ingeniería inversa”.

Método de expansión de fracción parcial

Cuando se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo, la transformada z es a menudo de la forma

$X(z)={\frac {a_{0}}{b_{0}}}{\frac {\prod _{k=1}^{M}1-c_{k}z^{-n}}{\prod _{k=1}^{N}1-d_{k}z^{-n}}}$

donde c_k representa los ceros distintos de cero de X(z) y d_k representa los polos distintos de cero.

Si M<N entonces X(z) se puede representar como

$X(z)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-{d_{k}z^{-n}}}}$

Esta forma permite inversiones fáciles de cada término de la suma utilizando el método de inspección y la tabla de transformación. Si el numerador es un polinomio, sin embargo, entonces se hace necesario usar expansión de fracción parcial para poner X(z) en la forma anterior. Si M≥N entonces X(z) se puede expresar como

$X(z)=\sum _{r=0}^{M-N}B_{r}{z^{-r}}+{\frac {\sum _{k=0}^{N-1}{b'_{k}z^{-k}}}{\sum _{k=0}^{N}{a_{k}z^{-k}}}}$

Método de expansión de la serie Power

Cuando la transformada z se define como una serie de potencias en la forma

$X(z)=\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]z^{-n}$

entonces cada término de la secuencia se x[n] puede determinar observando los coeficientes de la respectiva potencia de z⁻ⁿ.

Una de las ventajas del método de expansión de la serie de potencia es que muchas funciones encontradas en problemas de ingeniería tienen tabuladas sus series de potencia. Así funciones como log, sin, exponente, sinh, etc., se pueden invertir fácilmente.

Método de Integración de Contorno

Sin entrar a mucho detalle

$x[n]={\frac {1}{2\pi f}}\oint _{r}X(z)z^{n-1}dz$

donde r es un contorno en sentido antihorario en el ROC de X(z) rodear el origen del plano z. Para ampliar aún más este método de búsqueda de la inversa se requiere el conocimiento de la teoría de variables complejas y por lo tanto no se abordará en este módulo.

Código MATLAB

Nuestro entorno de desarrollo de análisis matemático y de señal nos ofrece varias funciones mediante las cuales nos es bastante intuitivo el cálculo y la obtención de la transformada Z inversa. Estas son:

iztrans(F)
iztrans(F,transVar)
iztrans(F,var,transVar)

Cada cual, presenta su propia lógica de código, pero en el fondo, todas presentan la misma solución, la transformada TZ(X(z)) = x[n].

iztrans(F)

iztrans(F)devuelve la transformada Z inversa de F. Por defecto, la variable independiente es zy la variable de transformación es n. Si Fno contiene z, iztransutiliza la función symvar.

Ejemplos

Transformada Z inversa de expresión simbólica

Calcule la transformada Z inversa de 2*z/(z-2)^2. De forma predeterminada, la transformación inversa se realiza en términos de n.

SMS de
F = 2*z/(z-2)^2;
iztrans(F)

años =
2^n + 2^n*(n - 1)

iztrans(F,transVar)

iztrans(F,transVar) utiliza la variable de transformación transVaren lugar de n.

ejemplo

Especificar variable independiente y variable de transformación

Calcule la transformada Z inversa de 1/(a*z). Por defecto, las variables independiente y de transformación son zy n, respectivamente.

sims za
F = 1/(a*z);
iztrans(F)

años =
kroneckerDelta(n - 1, 0)/a

Especifique la variable de transformación como m. Si especifica solo una variable, esa variable es la variable de transformación. La variable independiente sigue siendo z.

sims m
iztrans(F,m)

años =
kroneckerDelta(m - 1, 0)/a

Especifique las variables independiente y de transformación como ay m en el segundo y tercer argumento, respectivamente.

iztrans(F,a,m)

años =
kroneckerDelta(m - 1, 0)/z

iztrans(F,var,transVar)

iztrans(F,var,transVar) utiliza la variable independiente vary la variable de transformación transVaren lugar de zy nrespectivamente.

ejemplo

Transformadas Z inversas que involucran la función delta de Kronecker

Calcule las transformadas Z inversas de estas expresiones. Los resultados involucran la función Delta de Kronecker.

SMS Nueva Zelanda
iztrans(1/z,z,n)

años =
kroneckerDelta(n - 1, 0)

f = (z^3 + 3*z^2)/z^5;
iztrans(f,z,n)

años =
kroneckerDelta(n - 2, 0) + 3*kroneckerDelta(n - 3, 0)

Transformada Z inversa de entradas de matriz

Encuentre la transformada Z inversa de la matriz M. Especifique las variables independientes y de transformación para cada entrada de la matriz utilizando matrices del mismo tamaño. Cuando los argumentos son no escalares, iztransactúa sobre ellos por elementos.

símbolos abcdwxyz
M = [exp(x) 1; pecado(y) i*z];
vars = [wx; yz];
transVars = [ab; cd];
iztrans(M,vars,transVars)

años =
[ exp(x)*KroneckerDelta(a, 0), KroneckerDelta(b, 0)]
[ iztrans(sin(y), y, c), iztrans(z, z, d)*1i]

Si iztransse llama con argumentos escalares y no escalares, expande los escalares para que coincidan con los no escalares mediante el uso de expansión escalar. Los argumentos no escalares deben tener el mismo tamaño.

sims wxyzabcd
iztrans(x,vars,transVars)

años =
[ x*kroneckerDelta(a, 0), iztrans(x, x, b)]
[ x*kroneckerDelta(c, 0), x*kroneckerDelta(d, 0)]

Transformada Z inversa de función simbólica

Calcule la transformada Z inversa de funciones simbólicas. Cuando el primer argumento contiene funciones simbólicas, el segundo argumento debe ser un escalar.

sims f1(x) f2(x) ab
f1(x) = exp(x);
f2(x) = x;
iztrans([f1, f2],x,[a, b])

años =
[ iztrans(exp(x), x, a), iztrans(x, x, b)]

Si no se puede encontrar la transformada Z inversa

Si iztransno puede calcular la transformación inversa, devuelve una llamada no evaluada.

simbología F(z) n
F(z) = exp(z);
f = iztrans(F,z,n)

f =
iztrans(exp(z), z, n)

Devuelve la expresión original usando ztrans.

ztrans(f,n,z)

años =
exp(z)

Conclusión

Conocer la transformada Z inversa es útil al diseñar un filtro y hay muchas formas de calcularla según diferentes áreas de las matemáticas.

Sin embargo, todos ayudan al usuario a obtener la señal deseada en el dominio del tiempo, que luego puede sintetizarse en hardware (o software) para implementarla en un filtro práctico.

Referencias

https://es.mathworks.com/help/symbolic/sym.iztrans.html#d126e235297 https://espanol.libretexts.org/Ingenieria/Se%C3%B1ales_y_Sistemas_(Baraniuk_et_al.)/12%3A_Transformaci%C3%B3n_Z_y_Dise%C3%B1o_de_Sistema_de_Tiempo_Discreto/12.04%3A_Transformada_Z_inversa