Draft:Ecuación en diferencias de un sistema LTI
Los sistemas discretos LTID (linear time-invariant, discrete time systems) se analizan de manera similar a los sistemas de tipo continuo, con algunas diferencias.
Ecuaciones de Diferencias
Las ecuaciones de diferencia pueden ser expresadas de dos maneras:
- La primera utiliza términos con retrasos como y[n-1], y[n-2], x[n-1]…
- La segunda utiliza términos con avances como y[n+1], y[n+2], x[n+1]…
La forma con retrasos es más natural, pero se prefieren las formas de avances por razones de uniformidad con las operaciones de ecuaciones de diferencias.
Una ecuación de diferencias con un operador de avance se expresa de la siguiente manera:
y[n+N] + a1y[n+N-1] + ... + aN-1y[n+1] + aNy[n] = bn-Mx[n+M] + bN-M+1x[n+M-1] + ... + bN-1x[n+1] + bNx[n]
Esta ecuación representa un sistema de diferencias con un orden de magnitud máximo entre N y M. Se asume que el coeficiente de y[n+N] es 1, es decir a0=1, sin perder generalidad. En caso contrario, se normaliza.
La notación de operadores E
La notación de operadores E se utiliza en las ecuaciones de diferencias para representar el avance de una unidad. Es similar a la notación D utilizada en las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,
Ex[n] representa x[n + 1],
E2x[n] representa x[n + 2],
y ENx[n] representa x[n + N].
Una ecuación de diferencias de primer orden se puede expresar como
y[n+ 1] - ay[ n ] = x[n + 1],
que se puede reescribir utilizando la notación de operadores como
Ey[n] - ay[n] = Ex[n],
o también como
(E - a) y [ n ] = E x [ n ].
Esto refleja la manipulación de operadores utilizada en el manejo de ecuaciones de diferencias:
Q (E) y [ n ] = P (E) x [ n ].
Referencia:
- 4 Lathi 3.5 p265, Lathi 3.5 p269