Catástrofe
Discontinuidad que lleva al sistema de un tipo de equilibrio dinámico a otro distinto, o eventualmente, a la destrucción.
La noción fue introducida por René THOM (Matemático francés) y E.C. ZEEMAN (Matemático inglés), en la década del 1960.
Se trata de un concepto muy abstracto cuyo cabal entendimiento exige la profundización de un importante formalismo matemático, relacionado con la Topología.
Tiene un considerable interés para el entendimiento de las condiciones de estabilidad, o de inestabilidad y cambio. Sin embargo se necesita gran prudencia en sus usos como metáfora matemática de situaciones reales.
Para representaciones, formalismos y aplicaciones, ver bibliografía específica.
Siguen a continuación algunos términos topológicos estrechamente relacionados con el concepto de catástrofe.
- Catástrofes de THOM (las siete)
- Por catástrofe elemental se entiende toda situación de conflicto entre regímenes locales, mínima del potencial, que puede producirse de manera estable en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones (R. THOM - M.M.M., p. 71).
- THOM distingue dos clases de catástrofes: las de conflicto y las de bifurcación.
- Los modelos de catástrofe permiten por primera vez un estudio formal de un gran número de fenómenos sistémicos de cambio.
Las Catástrofes Dimensiones del espacio de estado Dimensiones del espacio de control Fenómenos típicos Pliegue 1 1 (sin dinámica) Punta 1 2 Histéresis-Rotura, cambio súbito de régimen y estado Cola de Golondrina 1 2 Onda expansiva
Conflicto entre dos regímenesMariposa 1 4 Estabilidad por equilibrio de fuerzas en una zona Ombligo hiperbólico 2 3 Rompimiento de una ola Ombligo elíptico 2 3 Centro organizador Ombligo parabólico 2 4 Penetración en una superficie con ruptura
- Para representaciones, formalismos y aplicacionmes, ver bibliografía específica.
- Siguen a continuación algunos términos topológicos estrechamente relacionados con el concepto de catástrafe.
- Atractor
- Ver Atractor
- Bifurcación
- Destrucción de un atractor por una variación del campo y su reemplazo por nuevos atractores (R. THOM - M.M.M. - p. 33).
- La bifurcación corresponde a un umbral donde se modifica o se pierde la estabilidad dinámica del sistema oscilante.
- R. THOM comenta: “Si el atractor es destruido por bifurcación, un cierto número de atractores - vecinos o lejanos - aparecen y se reparten su cuenca”.
- Algunas bifurcaciones admiten la evolución hacia dos tipos de estabilidad: una, asintótica y la otra, oscilante. Pero son incompatibles, y el comportamiento del sistema depende de la condición inicial instantánea que provoca la bifurcación.
- Cuenca
- La zona definida por el atractor en la cual el sistema mantiene su estabilidad dinámica, mientras ninguna variación lo haga escapar de sus límites.
- La totalidad del valle, de la zona del océano correspondiente a la hondonada, o el conjunto de los estados irreversibles locales de entropía creciente, corresponden a la noción de cuenca.
- En topología, una cuenca corresponde a una vecindad.
- Disparador
- Perturbación específica generada por un agente externo al sistema alejado del punto de equilibrio (E.C. ZEEMAN - C.T., p. 93). Cerca de un umbral de inestabilidad, puede sacar al sistema de su cauce (cuenca o sea provocar una catástrofe). La perturbación suele ser muy pequeña en comparación con sus efectos.
- Liapunov (estabilidad de)
- Tipo de estabilidad que corresponde a una función que no puede escapar de una vecindad (o cuenca) y, además, tiende hacia el atractor.
- La estabilidad de LIAPUNOV no permite fluctuaciones sistemáticamente crecientes del sistema (contrariamente a la estabilidad divergente, por ejemplo), lo cual impide al sistema franquear un umbral de inestabilidad.
- Dice THOM: “A todo atractor se encuentra asociada una función de LIAPUNOV local (que desempeña el rol de una entropía local)... En cierto sentido el atractor existe sólo gracias a su función de LIAPUNOV... Si el atractor desaparece por bifurcación, entonces la función local de LIAPUNOV tendrá también una bifurcación”.
- Separador
- Divisor que separa dos cuencas (C. BRUTER - T — P., p. 172). El separador es el lugar donde se producen las bifurcaciones.
La Teoría de Catástrofes tiene, entre otras, conexiones con la Teoría de los sistemas irreversibles lejos del punto de equilibrio (PRIGOGINE), la Autopoiesis (MATURANA y VARELA) y los conceptos de Ciclo e Hiperciclo. Según Manfred EIGEN y Ruthild WINKLER: “Es una topología diferencial por la cual se pueden analizar problemas de estabilidad estructural de los sistemas dinámicos” (M. EIGEN y R. WINKLER - Sp. p. 381).