Draft:Modulación de Frecuencia (FM)

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Clarification activity	Sistemas de transmisión
Author(s)	José María Díaz Nafría, Mario José Ruiz Asenjo
Creation date	Mar 2021
Status	🟢 Needs improvement
Reviews	Rev.1, Rev.2, Rev.3

Review comments: This article requires the following improvements: Sería interesante completar el contenido ofreciendo: (i) un análisis en frecuencia de la señal modulada -más detallado de lo actualmente referido-; (ii) la recepción de la señal FM. Los contenidos relativos al análisis de ruido son de interés, pero debieran presentarse más justificadamente a partir de conceptos más básicos.

Definiciones

La modulación de frecuencia (abreviada comunmente como FM por sus siglas en inglés, Frequency Modulation), es un tipo de modulación, en la que, al igual que en otras modulaciones, se modifica un parámetro de la señal portadora para que ésta pueda transportar la información de una señal moduladora. En este caso lo que se modifica es la frecuencia instantátea de la portadora, de modo que ésta sigue linealmente las variaciones de la señal moduladora. Así, la frecuencia instantánea de la señal modulada será la que refleje la información, mientras que la amplitud de la portadora no se modifica. El hecho de que la amplitud no refleje información hace que las perturbaciones de amplitud de la señal modulada no afecten (o lo hagan en menor grado) a la transmisión de información.

De acuerdo a lo definido, podemos expresar matemáticamente la señal modulada, considerando que la amplitud de la portadora es $A_{p}$ y su frecuencia $f_{p}$ , como ^[1]^[2]:

x (t) = A_{p} \cos (2 π f_{p} t + Φ_{p} (t))

Donde el término variable $Φ_{p} (t)$ es el que debe reflejar la información, de modo que la frecuencia instantánea varíe linealmente con el valor instatáneo de la moduladora. Debemos por tanto, considerar que la frecuencia instantanea, $f (t)$ se define como la variación temporal de la fase instantánea de la sinusoide, $θ (t) ≜ 2 π f_{p} t + Φ_{p} (t)$ . Es decir:

f (t) ≜ \frac{1}{2 π} \dot{θ} (t) = f_{p} + \frac{1}{2 π} {\dot{Φ}}_{p} (t) = f_{p} + f_{Δ} m (t)

Donde $m (t)$ es la moduladora (que se supone $| m (t) | \leq 1 \forall t$ ) y $f_{Δ}$ corresponde al desplazamiento máximo de frecuencia.

Por tanto, si queremos expresar $x (t)$ en términos de $m (t)$ , debemos invertir la definición de la frecuencia instantánea. Para ello podemos integrar entre el instante en el que $Φ_{p} (t_{0}) = 0$ y t:

Φ (t) = 2 π f_{Δ} \int_{t_{0}}^{t} m (α) d α + Φ_{p} (t_{0}) = 2 π f_{Δ} \int^{t} m (α) d α

donde hemos obviado el límite inferior de integración $t_{0}$ por no ser relevante.

En consecuencia, la forma de onda de la señal modulada FM puede expresarse como:

x (t) = A_{p} \cos (2 π f_{p} t + 2 π f_{Δ} \int^{t} m (α) d α)

Ocupación espectral y calidad

Ya que el grado de variación de la frecuencia instantanea puede ser tan pequeño como deseemos, en los albores de la modulación en frecuencia se creía que esta modulación sería un modo de reducir el ancho de banda requerido, suponiendo que el ancho de banda sería el doble de la desviación máxima de frecuencia instantánea^[2]. Sin embargo, los resultados experimentales no mostraban que esto fuera así, y en 1922 Carson demostró, mediante un análisis en frecuencia de la señal modulada, que en realidad el ancho de banda de ésta nunca puede ser inferior al doble del ancho de banda de la señal moduladora, y de hecho es tanto mayor cuanto mayor sea el desplazamiento en frecuencia máximo. De acuerdo, a la conocida como regla de Carson, el ancho de banda de transmisión para una señal modulada con desviación máxima de frecuencia $f_{Δ}$ y moduladora de ancho de banda, $B_{m}$ puede estimarse como^[2]:

B_{T} \approx 2 (f_{Δ} + B_{m})

Relación que es válida para $D = f_{Δ} / B_{m} ≫ 1$ or $D ≪ 1$ ; mientras que para valores intermedios de D, entre 2 y 10 (lo cual es bastante corriente), es más adecuado usar la aproximación:

B_{T} \approx 2 (f_{Δ} + 2 B_{m})

No obstante, si bien no se consiguió optimizar el ancho de banda como se creía, Armstrong monstró más tarde que si hacemos todo lo contrario, es decir, a medida que aumentamos el ancho de banda podemos reducir la relación señal a ruido tras la demodulación (y por tanto, la calidad). Esta capacidad de las modulaciones en frecuencia hizo que éstas se emplearan de forma generalizada para la retransmisión de señales de audio de calidad musical hasta hoy en día, a la vez que se probó la intercambiabilidad entre ancho de banda y relación señal a ruido en el canal para la comuncación de una determinada fuente de información (es decir, para una misma calidad podemos emplear bien más ancho de banda y menos potencia, o al revés). Años más tarde, Shannon generalizaría este resultado en términos de la capacidad de canal.

Un caso en el que la modulación FM está muy extendida es, como se mencionó anteriormente, el de la radiodifusión sonora (analógica) en bandas de frecuencias entre 88 y 108 MHz en las que la distorsión en amplitud es significativa debido a diferentes fenómenos. Como -a diferencia de lo que ocurre en las modulaciones AM- la calidad se degrada de forma abrupta por debajo de ciertos umbrales, por regla general es posible el reaprovechamiento de las frecuencias a distancias de cientos de kilómetros sin que las interferencias perjudiquen la calidad por debajo de lo requerido.

Ø Emision & Recepcion FM

La modulación de frecuencia (FM) es un método adicional, además de la modulación de amplitud (AM), para modular la portadora de RF.

En la modulación de frecuencia, la señal moduladora provoca variaciones en la frecuencia de un oscilador de RF a cada lado de su frecuencia base. La amplitud de la salida de RF se mantiene constante. La figura 1 ilustra este concepto.

La desviación de frecuencia es proporcional a la amplitud de la señal moduladora. Posteriormente, en el receptor, será necesario demodular esta señal, es decir, convertir esas variaciones de frecuencia en variaciones de amplitud.

RECEPCIÓN LIBRE DE PARÁSITOS.

Durante el intervalo entre la transmisión de una señal de RF por una emisora y su recepción, la portadora puede ser alterada por perturbaciones eléctricas, ya sean naturales o artificiales. Por lo tanto, aunque una señal de FM tenga una amplitud constante en la antena transmisora, puede resultar modulada en amplitud al llegar al receptor. La modulación en amplitud contiene las señales de ruido y es eliminada en el receptor de FM mediante dispositivos limitadores. De esta forma, el receptor de FM es insensible a la modulación de amplitud y, por lo tanto, es capaz de proporcionar una recepción libre de parásitos, siempre y cuando el nivel de la señal sea lo suficientemente alto para que tenga lugar la acción limitadora.

Los ruidos eléctricos también afectan a la frecuencia de la portadora, produciendo cierta desviación, aunque pequeña. Estos efectos no pueden ser completamente eliminados, pero pueden ser minimizados mediante un sistema de preénfasis en el transmisor y desénfasis en el receptor. En el receptor, esto se logra con un circuito pasa-bajos en la salida del 'detector'. Esto se debe a que el nivel máximo de sonido corresponde a los componentes de baja frecuencia de la palabra y la música, y el nivel mínimo de sonido corresponde a las componentes de alta frecuencia.

EL RECEPTOR DE FM Y SUS FRECUENCIAS.

En FM se utiliza el circuito de AM con algunas diferencias. El circuito es también un superheterodino.

AMPLIFICADOR DE RF.

La antena telescópica capta la señal aérea de RF, que luego es recogida por los circuitos resonantes de entrada sintonizados en el centro del espectro de frecuencias, alrededor de los 100 MHz. El circuito está compuesto por el circuito sintonizado paralelo L1001 y C1002. Los diodos D1001 y D1002 actúan como limitadores de entrada para proteger el circuito de entrada.

La señal de RF entra al circuito integrado a través del pin 23, se amplifica y sale por el pin 22, luego se aplica al circuito de sintonía formado por el condensador variable VC2 y L1002. VC2 trabaja en conjunto con VC3, que pertenece al circuito del Oscilador Local de FM. La señal de este oscilador se introduce por el pin 20 y se mezcla dentro del circuito integrado con la RF de FM. Al igual que en AM, la frecuencia del oscilador local varía según la emisora captada para lograr la Frecuencia Intermedia (FI) de FM, que es de 10,7 MHz.

AMPLIFICADOR DE FI.

Las señales resultantes en la salida del mezclador se encuentran en el pin 2 del circuito integrado. T1003 es el primer transformador de Frecuencia Intermedia (FI) y forma un circuito sintonizado a 10,7 MHz junto con un condensador en paralelo. Luego, la señal se aplica a un filtro cerámico de 10,7 MHz y se reintroduce al circuito integrado a través del pin 5.

Los tradicionales transformadores sintonizados de FI han sido reemplazados por modernos filtros cerámicos, que permiten exclusivamente el paso de la FI a 10,7 MHz con un ancho de banda de 150 KHz (-75 KHz...0...+75 KHz). Estos filtros cerámicos ahorran ajustes y son más compactos.

La señal de FM presente en el pin 9 es detectada mediante el transformador T1001 (circuito sintonizado), luego se amplifica y se lleva al pin 16. Esta señal de Baja Frecuencia (BF), al igual que en AM, se introduce nuevamente en la sección del circuito integrado encargada de detectar la señal estéreo (Demodulador Estéreo).

CONTROL AUTOMÁTICO DE FRECUENCIA: C.A.F.

El Control Automático de Frecuencia (CAF) es un circuito diseñado para mantener constante la frecuencia de entrada, y por ende la Frecuencia Intermedia (FI), ajustando la frecuencia generada por el oscilador local. Esto es necesario debido a las posibles variaciones en la frecuencia de la emisora o del oscilador local. El CAF utiliza un diodo "varicap", denominado AFC1 en este caso, conectado en paralelo al circuito oscilante. La capacidad del diodo varía en función de la tensión aplicada, la cual proviene de la salida de BF (pin 16) y es filtrada por el condensador C1052. Esta variación en la capacidad del diodo afecta la frecuencia del oscilador.

Los diodos "varicap" requieren polarización inversa para su correcto funcionamiento. A mayor polarización inversa, la capa empobrecida de la unión es más ancha y la capacidad del diodo es menor. Por el contrario, a menor polarización inversa, la capacidad de la unión es mayor.

DETECTOR FM.

El Detector de FM tiene como objetivo separar la información útil de la señal portadora, al igual que en AM. En el caso de FM, el demodulador actúa como un convertidor de frecuencia a tensión. El detector clásico de relación de los principios de la FM está siendo reemplazado por circuitos más sofisticados, gracias a la implementación de circuitos integrados. En este caso, el detector funciona gracias al circuito resonante conectado al pin 9. La señal demodulada se obtiene en el pin 16, y se conoce como MPX, ya que contiene las informaciones de los canales izquierdo, derecho y señal piloto (D+I, D-I, 19KHz). Esta señal se dirige hacia el circuito demodulador estéreo (pin 15) dentro del mismo circuito integrado.

La señal estéreo se obtiene en los pines 13 y 14. Con el conmutador SW1A-B conectado a los pines 11 y 12, es posible bloquear la señal estéreo y escucharla en monoaural, especialmente en casos donde la señal sea débil y quede enmascarada por el ruido de fondo. En el pin 10 se puede colocar un indicador de señal estéreo. La patilla 18 está destinada a la presentación de la señal.

Análisis de ruido

Relación Señal a Ruido.

En comunicaciones, una de las variables más importantes es el ruido con el que la señal llega al receptor y que puede provocar la inviabilidad de la transmisión. Es por esto que variables como la relación señal a ruido cobran mucha importancia en counicaciones. En FM se pueden calcular las relaciones de señal a ruido en diferentes puntos de la transmisión, sin embargo, los dos puntos más importantes son a la entrada del receptor y a la salida de este. estos valores pueden calcularse a través de las siguientes ecuaciones:

$(S N R)_{O} = 3 A_{c}^{2} k_{f}^{2} P / 2 N_{0} W^{3}$ $(S N R)_{I} = A_{c}^{2} / 2 N_{0} W$

Estas ecuaciones se refiere a la relación señal a ruido a la salida del receptor y a la entrada de este, respectivamente. A_c se refiere a la amplitud de la moduladora, k_f es la sensibilidad de frecuencia y P es la potencia media de la señal transmitida. en el denominador tenemos la potencia del ruido, con N₀ refiriendose a la densidad espectral de potencia de este y W al ancho de banda del filtro paso bajo del receptor. (Haykin, Moher, 2010: p.219).

A través de la relación entre estas dos variables se obtiene el factor de mérito de la modulación como se muestra a continuación:

$(S N R)_{O} / (S N R)_{I} = 3 k_{f}^{2} P / W^{2}$

A partir de esta fórmula es importante recalcar que el uso de la modulación de frecuencia, permite la opción de sacrificar el ancho de banda, con la finalidad de mejorar la robustez del sistema de tarnsimisión frente al ruido.

Efecto Captura.

Una de las causas que afecta al ruido en FM, son las interferencias de otras señales moduladas en frecuencia con frecuencias de portadora próximas a la frecuencia de portadora de la transmisión original. El problema es que la supresión de interferencias del receptor FM funciona cuando las interferencias son menores que la señal original. Si en algún momento se da el caso de que la potencia de una de las señales de interferencia supera la potencia de la señal original, el receptor FM filtrará la señal original y recibirá la señal interferente. Sin embargo, si las dos señales las recive con potencias similares, el receptor irá alternando entre estas. A esto es a lo que se le llama efecto captura.

Código

El código aportado a continuación incluye la generación de una moduladora sinusoidal de prueba con la que se invoca la función Mod_FM() que genera la señal modulada en frecuencia FM cuyo código se encuentra más abajo. La figura adjunta muestra los resultados obtenidos. La función Mod_FM() permite la generación y representación gráfica de una señal modulada en frecuencia a partir de una señal de información cualquiera aportada y los parámetros característicos de la modulación.

fm = 10000; t= 0:1/fm:1;    % Frecuencia de muestreo de la simulación y base de tiempos
xm = sin(2*pi*4*t);         % Moduladora acotada en: [-1,1]
xFM = Mod_FM(t,xm,2,40,22); % Invocación a la función Mod_FM

function xFM = Mod_FM(t,xm,A,fp,Df)
% Genera una señal modulada FM a partir de la moduladora entregada, acompañada 
% de su base de tiempos y a partir de la amplitud, los parámetros de entrada 
% de frecuencia de la portadora, desviación de frecuencia. Representa la
% señal modulada y la frecuencia instantanea.
% ENTRADAS
%    t....base de tiempos
%    xm...señal moduladora
%    A....amplitud de la señal modulada
%    fp...frecuencia de la portadora
%    Df...desviación de frecuencia
% SALIDAS
%    xFM..señal modulada en FM
% AUTOR: J.M.Díaz-Nafría
Tm = t(2)-t(1);                 % Se supone muestreo uniforme de la base de tiempos
phi = 2*pi*Df*cumsum(xm)*Tm;    % fase instantanea phi(xm(t))  
xFM = A*cos(2*pi*fp*t+phi);     % Señal FM
f_i = [fp,diff(2*pi*fp*t+phi)/(2*pi*Tm)];   % frecuencia instantanea
%% Representación de la señal modulada y de la frecuencia instantanea
subplot(2,1,1); plot(t,xFM,t,xm,'--');      % Señal FM y moduladora
xlabel('t [s]'); ylabel('x_{FM}(t);  x_{moduladora}(t)');
legend('Señal FM','Moduladora'); grid on;
subplot(2,1,2); plot(t,f_i);                % Frecuencia instantanea
xlabel('t [s]'); ylabel('f_{inst}(t) [Hz]'); grid on; ylim([0,ceil(max(f_i)/10)*10]);
end

Referencias

↑ Haykin, S.; Moher, M. (2010). Communication systems. Hoboken, N.J.: John Wiley.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Carlson, B. (1989). Communication Systems. New York: McGraw-Hill

[Haykin-1] Haykin, S.; Moher, M. (2010). Communication systems. Hoboken, N.J.: John Wiley.

[Carlson-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Carlson, B. (1989). Communication Systems. New York: McGraw-Hill

[1]

[2]