Desvanecimiento multitrayecto

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Clarification activity	Transmisión digital
Author(s)	Rubén Guzmán
Creation date	Apr 2025
Status	🔵 Listo para publicar

*Figura 1*. *Propagación multitrayecto.*

En el análisis de un sistema de comunicación radioeléctrico, uno de los fenómenos que se debe considerar en la caracterización del canal es el producido cuando las señales transmitidas llegan al receptor a través de múltiples trayectorias, debidas a reflexiones, difracciones y dispersiones en el entorno. La recepción de estas señales, sumadas a la onda directa con distintos retardos, amplitudes y fases, puede degradar la calidad del enlace. A este efecto de degradación de la señal se le conoce como desvanecimiento multitrayecto.

La consecuencia directa de la recepción de señales con distintas amplitudes y retardos es la posible atenuación de la potencia recibida, por la recepción de señales en contrafase. Pero además, hay que considerar un factor que agrava la degradación del enlace en la propagación multitrayecto: la dispersión temporal. En una transmisión digital, la llegada de las señales retardadas va a producir un ensanchamiento de los símbolos recibidos que va a aumentar considerablemente la interferencia entre símbolos y en consecuencia los errores en la detección de estos. Sumado a eso, esta dispersión temporal influye directamente en la respuesta en frecuencia del canal. El aumento de la dispersión temporal reduce el ancho de banda de coherencia del canal, que se traduce en una respuesta más selectiva en frecuencia.

El estudio del efecto del multitrayecto es especialmente sensible en los servicios de comunicaciones móviles, donde, además de la impredecibilidad de los condicionantes que afectan a la caracterización del canal, se añade que el receptor puede estar en movimiento. En las bandas de frecuencia utilizadas por estos sistemas, del orden de microondas, las longitudes de onda son centimétricas, por lo que pequeñas variaciones de posición del receptor suponen cambios bruscos de fase, que pueden llevar a desvanecimientos súbitos. Por ello, se considera que el canal varía en el tiempo de forma aleatoria. Para modelar su respuesta se recurre a procesos aleatorios dependientes del tiempo.

Caracterización de la propagación en comunicaciones móviles

Para la caracterización del canal en comunicaciones móviles se puede distinguir entre el desvanecimiento a gran escala y el desvanecimiento a pequeña escala.^[1]

Se considera desvanecimiento a gran escala, la variación de la señal recibida considerando las pérdidas por propagación en espacio libre y las pérdidas producidas por la interposición de obstáculos de gran tamaño respecto a la longitud de onda. Este desvanecimiento tiene variaciones lentas sobre su media y depende principalmente de la distancia entre transmisor y receptor.

Hata^[2], a partir del trabajo previo de Okumura^[3], desarrolló un modelo matemático para las pérdidas de propagación en canales multitrayecto en función del entorno. A partir de este modelo, se pueden representar las pérdidas del enlace por desvanecimiento a gran escala, como una variable aleatoria $L_{P}$ dependiente de la distancia $d$ :

$L_{P} (d) = L_{S} (d_{0}) + 10 n \log (\frac{d}{d_{0}}) + X_{σ} [dB]$

Siendo: $d_{0}$ una distancia de referencia en campo lejano, sobre la que se calculan las pérdidas por propagación en espacio libre $L_{S}$ , según $L_{S} = {(4 π d / λ)}^{2}$ ; $n$ es el exponente de pérdidas de propagación, que depende del tipo de entorno (rural, suburbano, urbano), la frecuencia y la altura de las antenas; y $X_{σ}$ es una variable aleatoria con distribución gaussiana de media 0, que representa las pérdidas específicas por la topología del área.

El desvanecimiento a pequeña escala se refiere a los cambios súbitos de nivel de señal motivados por pequeños cambios de posición del receptor, de hasta media longitud de onda. Las variaciones de señal por estos pequeños cambios se modelan con diferentes tipos de distribuciones de probabilidad dependiendo de la visibilidad entre receptor y emisor:

Desvanecimiento de Rayleigh. Cuando no hay visibilidad directa, no hay un componente dominante en el conjunto de señales recibidas de cada trayectoria, como suele ocurrir en entornos altamente urbanizados o en entornos indoor, donde tenemos un alto número de ondas reflejadas y no hay onda directa. En este caso, se modela estadísticamente la señal recibida con una distribución de probabilidad de Rayleigh.
Desvanecimiento de Rice. En caso de no estar obstaculizada la línea de visión directa entre receptor y emisor, la onda directa es un componente dominante en el conjunto de señales recibidas de cada trayectoria. En este caso, se modela el nivel de señal recibida con una distribución de probabilidad de Rice.

La suma del desvanecimiento a gran escala y el desvanecimiento a pequeña escala caracteriza el nivel de señal en recepción en escenarios de comunicaciones móviles.

Dispersión temporal

La propagación por diferentes caminos va a producir que una señal transmitida llegue a su destino en diferentes instantes de tiempo. Se define el retardo máximo $T_{m}$ como el tiempo transcurrido entre la recepción de la primera versión de la señal y la última, suponiendo un umbral de potencia por debajo del cuál se desprecian las posteriores.^[1]

Se define el ancho de banda de coherencia $f_{0}$ como el rango de frecuencias donde el canal deja pasar todas las componentes de la señal con la misma amplitud y fase lineal, por tanto, las componentes pertenecientes al mismo rango son afectadas por el canal de la mima forma ante el desvanecimiento. Como aproximación se puede considerar la siguiente relación entre el retardo máximo y el ancho de banda de coherencia: $f_{0} \approx 1 / T_{m}$ .

Suponiendo una transmisión digital en la que la señal transmitida es un símbolo de periodo $T_{s}$ y ancho de banda aproximado $W \approx 1 / T_{s}$ , podemos clasificar el desvanecimiento en función de la relación entre el canal y el símbolo transmitido de la siguiente forma:

Desvanecimiento selectivo en frecuencia (cuando $T_{m} > T_{s}, f_{0} < W$ ): Las componentes de la señal multitrayecto se extienden en el tiempo más que el periodo del símbolo, provocando interferencia entre símbolos que causan distorsión en la señal recibida. La separación entre las componentes facilita su distinción por parte del receptor y puede mitigar su efecto utilizando ecualización adaptativa. Desde el punto de vista espectral, el ancho de banda de coherencia del canal es más estrecho que el de la señal, por lo que las diferentes componentes espectrales de la señal se ven afectados por el canal de forma distinta.
Desvanecimiento plano (cuando $T_{m} < T_{s}, f_{0} > W$ ): Las componentes de la señal multitrayecto se reciben dentro del tiempo de un símbolo, por lo que el canal no introduce interferencia ente símbolos, aunque sí que puede mermar la relación señal a ruido. En este caso, el ancho de banda de coherencia del canal es mayor que el ancho de banda de la señal, por lo que todas sus componentes espectrales son tratadas por igual.

Caracterización del canal multitrayecto en la transmisión digital

En un escenario de transmisión digital, se parte de un símbolo representado en banda base por $s_{l} (t)$ y de su versión modulada $s (t)$ , que se puede expresar como $s (t) = ℜ {s_{l} (t) e^{j 2 π f_{c} t}}$ , siendo $f_{c}$ la frecuencia de la portadora.^[4]

Al enviar este símbolo a través del canal multitrayecto, en recepción obtenemos una respuesta que es la suma del símbolo atenuado y retrasado por los diferentes trayectos:

$r (t) = \sum_{k} α_{k} (t) s (t - τ_{k} (t))$

Siendo $k$ el número de trayectos, y $α_{k} (t)$ y $τ_{k} (t)$ , respectivamente, las variaciones temporales de atenuación y retardo de cada trayectoria.

Si expresamos la señal recibida en función del símbolo en banda base obtenemos:

$r (t) = ℜ {[\sum_{k} α_{k} (t) e^{- j 2 π f_{c} τ_{k} (t)} s_{l} (t - τ_{k} (t))] e^{j 2 π f_{c} t}}$

La demodulación de esta señal nos lleva a la expresión del símbolo recibido en banda base:

$z (t) = \sum_{k} α_{k} (t) e^{- j 2 π f_{c} τ_{k} (t)} s_{l} (t - τ_{k} (t))$

De la que deducimos la expresión de la respuesta al impulso del canal multitrayecto en banda base:

$h (τ, t) = \sum_{k} α_{k} (t) e^{- j 2 π f_{c} τ_{k} (t)} δ (τ - τ_{k} (t))$

Donde $k$ , $α_{k} (t)$ y $τ_{k} (t)$ son procesos aleatorios dependientes del tiempo.

Discretización del modelo de respuesta impulsional

Para facilitar el análisis computacional del modelo, podemos representar su equivalente suponiendo señales y respuesta al impulso discretas. El número de trayectos $p (t)$ , los retardos $τ_{k} (t)$ , las amplitudes $ρ_{k} (t)$ y las fases $θ_{k} (t)$ de las señales que llegan al receptor se consideran procesos aleatorios dependientes del tiempo. Por lo tanto, la respuesta del canal es un proceso aleatorio que queda representado por:^[5]

$h (n, t) = \sum_{k = 1}^{p (t)} ρ_{k} (t) e^{j θ_{k} (t)} δ (n - τ_{k} (t))$

Código

A partir del modelo discreto de respuesta al impulso del punto anterior, se construye una función que simula el efecto del canal multitrayecto sobre la señal de entrada. La función multipath(x,Pmax,Tmax,sigma,Nt) divide la señal de entrada (x) en un número determinado de subtramas (Nt) y aplica una respuesta al impulso distinta a cada una de ellas, para simular la variabilidad del canal. Cada una de las respuestas al impulso ha sido generada previamente a partir de las variables aleatorias que representan el número de trayectos (P), las amplitudes (r), las fases (theta) y los retardos (tau).

La generación de estas variables aleatorias dependen del resto de parámetros de entrada: Pmax, número máximo de trayectos; Tmax, retardo máximo de los retardos secundarios respecto al principal; y sigma, desviación típica de la amplitud de los trayectos secundarios. Se asume que la atenuación, fase y retardo del trayecto principal son nulos, y que las amplitudes, fases y retardos de los secundarios son relativos a éste.

La aplicación de la respuesta al impulso correspondiente a cada subtrama x_s se realiza mediante la función filter(b,a,x_s), siendo b y a los coeficientes de la función de transferencia equivalente del canal. Asumiendo que el canal se comporta como un filtro FIR, los coeficientes b coincidirán con la respuesta al impulso del canal y a será 1.

A continuación, se muestra el código completo de la función multipath():

function [x_mt,B] = multipath(x,Pmax,Tmax,sigma,Nt) 
%% Función que simula la propagación multitrayecto
% Divide la señal de entrada en subtramas, a las que aplica respuestas al
% impulso variantes, mediante la función filter().
% Cada respuesta al impulso caracteriza la propagación multitrayecto en un
% intervalo de tiempo diferente.
% La caracterización se realiza mediante las variables aleatorias:
% - Número de trayectos (P): Distribución uniforme [1,Pmax]
% - Amplitud de trayectos secundarios (r): Distribución normal con d. típica sigma 
% - Fase de trayectos secundarios (theta): Distribución uniforme [-pi,pi]
% - Retardo de los trayectos secundarios (tau): Distribución normal [2,Tmax]
% Se asume que el trayecto principal tiene amplitud 1, fase 0 y retardo 1.

% ENTRADAS
% - x......Señal de entrada
% - Pmax...Nº máximo de componentes del multitrayecto
% - Tmax...Retardo máximo en nº de muestras 
% - sigma..Desviación típica de la amplitud de los trayectos secundarios
% - Nt.....Número de subtramas con características de canal diferente

% SALIDAS
% - x_mt...Señal con distorsión multitrayecto
% - B......Matriz de dimensiones [Nt x Tmax] con las respuestas al impulso para cada subtrama 

Nx = length(x);     % Longitud de la secuencia de entrada
T = floor(Nx/Nt);   % Longitud de las Nt-1 primeras subtramas. La última incluirá el resto

% Vector de trayectos correspondientes a cada subtrama
P = randi([1,Pmax],Nt,1); 

% Generación de matrices tau, theta y r
tau = randi([2,Tmax],Nt,Pmax-1);    % Matriz de retardos de los trayectos secundarios
theta = rand(Nt,Pmax-1)*2*pi-pi;    % Matriz de fases de los trayectos secundarios
r = randn(Nt,Pmax-1)*sigma;         % Matriz de amplitudes de los trayectos secundarios

% Filtro de suavizado sobre tau, theta y r
% [b,a] = butter(6,0.1); % Filtro para suavizar las variaciones de las variables aleatorias
% tau = filter(b,a,tau);
% tau = max(2, round(tau)); % Para asegurar que tau sea entero y >=2
% theta = filter(b,a,theta);
% r = filter(b,a,r);

r_complejo = abs(r).*exp(1j*theta); % Matriz de amplitudes y fases conjuntas

% Construcción de matriz B (coeficientes del filtro FIR) [Nt x Mmax]

B = zeros(Nt, Tmax);    % Inicializar B con ceros
B(:,1)=1;               % Primera columna todo unos (trayecto principal)

    % Recorrido de tau y asignación de B(indice según tau)=r_complejo
    for n = 1:Nt % Recorremos filas
        for k = 1:(P(n)-1) % Recorremos columnas solo hasta trayectos secundarios activos
            col = tau(n,k); % Retardo como índice
            B(n,col) = B(n,col) + r_complejo(n,k); % Si se repite valor de tau se añade
        end
    end

zi = zeros(1,Tmax-1);       % Valores iniciales del estado del filtro
x_mt = zeros (1,length(x)); % Inicialización de salidas

% Aplicación de filter() a subtramas (de primera a penúltima)
for i=1:Nt-1 % Esto se salta si Nt=1
    x_subtrama = x(((i-1)*T+1):i*T); % Recorrido de x mediante subtramas de tamaño T
    h = B(i,:); % Coeficientes del filtro correspondientes a cada subtrama
    [y,zf]=filter(h,1,x_subtrama,zi); % Llamada al filtro para cada subtrama
    x_mt(((i-1)*T+1):i*T) = real(y); % Resultado del filtro (parte real) a vector de salida
    zi=zf; % Paso de estado para siguiente iteración
end

% Última subtrama. También es el caso de solo 1 subtrama (Nt=1)
x_subtrama = x(((Nt-1)*T+1):end); % Última subtrama (incluye resto)
h = B(Nt,:); % Última fila
[y,~]=filter(h,1,x_subtrama,zi); % Llamada al filtro para la última subtrama
x_mt(((Nt-1)*T+1):end) = real(y); % Resultado del filtro (parte real) a vector de salida

Para ejemplificar el efecto que produce esta función sobre una señal de entrada, se desarrolla un breve script, mostrado a continuación, que aplica la función sobre un tren de pulsos rectangulares y sobre un pulso de raíz cuadrada de coseno alzado, mostrando gráficamente los resultados en la figura 2.

% Efecto de la función multitrayecto

% Parámetros de la función
Pmax=40; % Número máximo de trayectos
Tmax=100; % Retardo máximo de los trayectos secundarios (en muestras)
sigma=0.2; % Desviación típica de la maplitud de los trayectos secundarios
Nt=4; % Variaciones del canal

% Señal de entrada 1: Tren de pulsos rectangulares
x1 = [ones(1,32) zeros(1,32) ones(1,32) zeros(1,32) ones(1,32) zeros(1,32)]*2 - 1;

% Señal de entrada 2: Pulso RCCA
tipo=1; % Codificación NRZ
Ms=64; % Muestras por símbolo
Ns=6; % Nivel de entrelazado de símbolos
r=1; % Factor de redondeo
x2 = s_b(tipo,Ms,Ns,r); % Generación de pulso

% Paso de las señales por multipath
y1 = multipath(x1,Pmax,Tmax,sigma,Nt);
y2 = multipath(x2,Pmax,Tmax,sigma,Nt);

% Representaciones gráficas
t = tiledlayout(2,1);
nexttile
stem(x1,'filled','markersize',4); grid on; hold on;
stem(y1,'filled','markersize',4);
legend('Señal de entrada','Señal de salida');
nexttile
stem(x2,'filled','markersize',4); grid on; hold on;
stem(y2,'filled','markersize',4);
legend('Señal de entrada','Señal de salida');
title(t,'Efecto de la función multitrayecto');
xlabel(t,'Muestras (n)');

Referencias

↑ ^1.0 ^1.1 Sklar, B. y Harris, F. (2021). Digital Communications: Fundamentals and Applications (3ª edición). Londres: Pearson Education.
↑ Hata, M. (1980). Empirical Formulae for Propagation Loss in Land Mobile Radio Services, IEEE Transactions on Vehicular Technology, VT-29(3), 317–325.
↑ Okumura, Y.; Ohmori, E.; Kawano, T. y Fukuda, K. (1968). Field Strength and Its Variability in VHF and UHF Land Mobile Radio Service. Review of the Electrical Communication Laboratory, 16(9-10), 825-873.
↑ Proakis, J.G. y Salehi, S. (2008). Digital Communicactions (5ª edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill.
↑ Díaz Nafría, J.M. (2021). Aplicaciones de filtrado adaptativo. Enunciado de actividad de la asignatura Traramiento Digital de la Señal. UDIMA.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Sklar, B. y Harris, F. (2021). Digital Communications: Fundamentals and Applications (3ª edición). Londres: Pearson Education.

[2] Hata, M. (1980). Empirical Formulae for Propagation Loss in Land Mobile Radio Services, IEEE Transactions on Vehicular Technology, VT-29(3), 317–325.

[3] Okumura, Y.; Ohmori, E.; Kawano, T. y Fukuda, K. (1968). Field Strength and Its Variability in VHF and UHF Land Mobile Radio Service. Review of the Electrical Communication Laboratory, 16(9-10), 825-873.

[4] Proakis, J.G. y Salehi, S. (2008). Digital Communicactions (5ª edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill.

[5] Díaz Nafría, J.M. (2021). Aplicaciones de filtrado adaptativo. Enunciado de actividad de la asignatura Traramiento Digital de la Señal. UDIMA.

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