Sistema recursivo

Definición

Un sistema recursivo es aquél en el que la salida en un instante dado depende de entradas presentes y pasadas, y también de salidas pasadas:

$y(n)=F(x(n),x(n-1),...,x(n-M),y(n-1),...,y(n-N))$

Aparecerá un término denominado condición inicial para un valor n = n₀ que contiene la información necesaria para determinar la respuesta del sistema para n ≤ n₀ a la señal de entrada x(n) independientemente de lo que haya ocurrido con anterioridad.

Por ejemplo, supongamos que se desea calcular la media acumulada de una señal x(n) en el intervalo x ≤ k ≤ n, definida como:

$y(n)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}x(k),n=0,1,...$

Una alternativa para el cálculo sería obtener las muestras de la entrada x(k) para 0 ≤ k ≤ n. Esto llevaría a que se tuviesen que almacenar cada vez más muestras. En cambio, si se utilizan las respectivas salidas previas, no se necesitarán almacenar todas las muestras. Reordenando la expresión anterior:

$(n+1)\cdot y(n)=\sum _{k=0}^{n-1}x(k)+x(n)=n\cdot y(n-1)+x(n)\Rightarrow y(n)=\frac{n}{n+1}\cdot y(n-1)+\frac{1}{n+1}\cdot x(n)$

De este modo se irán obteniendo las muestras:

$y(0)=x(0)$

$y(1)=\frac{1}{2}\cdot y(0)+\frac{1}{2}\cdot x(1)$

$y(2)=\frac{2}{3}\cdot y(1)+\frac{1}{3}\cdot x(2)$

y así sucesivamente. Aplicando la condición inicial para n = n₀:

$y(n_0)=\frac{n_0}{n_0+1}\cdot y(n_0+1)+\frac{1}{n_0+1}\cdot x(n_0)$