Señales simétricas (par) y antisimétricas (impar)

Definiciones

Señales Simétricas (Pares)

Las señales simétricas son aquellas en las que su forma es idéntica alrededor de un eje central. Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

Dominio Continuo:

1. Simetría respecto al eje vertical: La señal $f(t)$ es simétrica si $f(t)=f(-t)$ $\forall t$ en su dominio.
2. Parte impar nula: Si una señal es simétrica, su parte impar es cero.
3. Descomposición en serie de Fourier: Tienen una descomposición en serie de Fourier que solo incluye términos coseno. No tienen componentes de frecuencia de seno.
4. Potencia de señal: La potencia de una señal simétrica puede ser más fácil de calcular.
5. Sistemas de tiempo invariante: Las señales simétricas pueden simplificar el análisis de sistemas de tiempo invariante.

Dominio Discreto:

1. Simetría respecto al eje vertical: En el dominio discreto, una señal $x[n]$ es simétrica si $x[n]=x[-n]$ $\forall n$ en su dominio.
2. Parte impar nula: Si una señal es simétrica, su parte impar es cero.
3. Descomposición en serie de Fourier: En el dominio discreto, las señales simétricas tienen una descomposición en serie que incluye solo términos coseno.
4. Potencia de señal: La potencia de una señal simétrica en el dominio discreto también puede ser más fácil de calcular.
5. Sistemas de tiempo invariante: Al igual que en el dominio continuo, las señales simétricas pueden simplificar el análisis de sistemas de tiempo invariante en el dominio discreto.

Señales Asimétricas (Impares)

Las señales asimétricas son aquellas en las que su forma no es idéntica alrededor de un eje central. Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.

Dominio Continuo:

1. Asimetría en el Tiempo: Las señales asimétricas no son simétricas respecto al eje de tiempo, la forma de la señal no es la misma si se refleja respecto al eje temporal.
2. Propiedades Matemáticas:
   • Una señal $f(t)$ se considera asimétrica si $f(t)=-f(-t)$ $\forall t$ en su dominio.
   • La parte par de una señal asimétrica es cero para las componentes de t pares y la impar no es cero, tiene solo componentes impares.
   • La integral sobre un intervalo simétrico de una señal asimétrica es cero.
3. Transformada de Fourier:
   • Las señales asimétricas tienen solo componentes impares en su espectro de frecuencia y su transformada de Fourier es generalmente compleja.

Dominio Discreto:

1. Asimetría en el Tiempo: Las señales asimétricas no son simétricas respecto al eje de temporal discreto2.
2. Propiedades Matemáticas:
   • En el caso de señales discretas, una señal $x[n]$ se considera asimétrica si $x[n]=-x[-n]$ $\forall n$ en su dominio.
   • La parte par de una señal discreta asimétrica es cero, mientras que la impar no es cero.
   • La suma de una señal asimétrica sobre un número par de muestras es cero.
3. Transformada de Fourier Discreta (DFT):
   • Las señales asimétricas en el dominio discreto tienen solo componentes impares en su espectro de frecuencia y la DFT puede tener tanto partes reales como imaginarias.

Código

Una función par simétrica en Matlab podría ser la función coseno. Es simétrica respecto al eje y, lo que significa que $\cos(x)=\cos(-x)$ para cualquier valor de x. Este código genera un gráfico de $\cos(x)$ en el intervalo de $[-\pi ,\pi ]$ y también grafica la función reflejada $\cos(-x)$ para demostrar su simetría respecto al eje y. Ambas curvas deben coincidir, lo que ilustra la propiedad de simetría de la función coseno.

% Definición del dominio
x = -pi:0.01:pi; % Rango de -pi a pi con un paso de 0.01
% Función coseno
y = cos(x);
% Gráfico de la función coseno
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(-x, y, 'r--', 'LineWidth', 2); % Graficar la función reflejada
xlabel('x');
ylabel('y = cos(x)');
title('Función Coseno y su Simetría');
legend('y = cos(x)', 'y = cos(-x)');
grid on;

Una función impar asimétrica en Matlab podría ser la función seno. Es antisimétrica respecto al origen, lo que significa que $\sin(x)=-\sin(-x)$ para cualquier valor de x. Este código genera un gráfico de $\sin(x)$en el intervalo de $[-\pi ,\pi ]$y también grafica la función opuesta $-\sin(-x)$ para demostrar su antisimetría respecto al origen. Las dos curvas deben ser simétricas respecto al origen, lo que ilustra la propiedad de antisimetría de la función seno.

% Definición del dominio
x = -pi:0.01:pi; % Rango de -pi a pi con un paso de 0.01
% Función seno
y = sin(x);
% Gráfico de la función seno
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(-x, -y, 'r--', 'LineWidth', 2); % Graficar la función opuesta
xlabel('x');
ylabel('y = sin(x)');
title('Función Seno y su Antisimetría');
legend('y = sin(x)', 'y = -sin(-x)');
grid on;