Draft:Relación señal a ruido de cuantificación (SQNR)

Definición

La relación señal a ruido de cuantificación, o SQNR (siglas del inglés Signal-to-Quantization-Noise Ratio), es una medida utilizada en el contexto de la digitalización de señales para evaluar la calidad del proceso de cuantificación, y se expresa en decibelios. Una SQNR más alta indica una cuantificación más precisa.

La tarea de conversión de una señal analógica en una señal digital se divide en dos procesos: muestreo y cuantificación. En la cuantificación, asignamos un valor discreto al valor real de la señal analógica en los instantes de muestreo. Este proceso de discretización de la señal analógica introduce un error, consistente en la diferencia entre el valor real de la señal original y el valor discreto asignado. Este error se modela estadísticamente como un ruido que se ha añadido a la señal original y se le llama ruido de cuantificación.

Si partimos de una señal discreta en el tiempo $x(n)$, y tras la cuantificación obtenemos la señal cuantificada $y(n)$. Tenemos que $y(n)=x(n)+q(n)$, siendo $q(n)$ el ruido de cuantificación o error de cuantificación.

Si $P_{x}=E[x^{2}(n)]=\sigma _{x}^{2}$ es la potencia de la señal original y $P_{q}=E[q^{2}(n)]=\sigma _{q}^{2}$ es la potencia del ruido de cuantificación. La expresión de la relación señal a ruido de cuantificación es la siguiente:

$SQNR=10\cdot log\ {\frac {P_{x}}{P_{q}}}\quad dB$

Expresión simplificada

Si utilizamos $b+1$ bits para cuantificar nuestra señal y el rango del cuantificador (rango entre el nivel más alto y el más bajo de cuantificación) es $R$, podemos llegar a la expresión:

$SQNR=6,02\cdot b+16,81-20\cdot log\ {\frac {R}{\sigma _{x}}}\quad dB$

Y suponiendo que $x(n)$ tiene una distribución gaussiana, y el rango del cuantificador cubre desde $-3\cdot \sigma _{x}$ a $3\cdot \sigma _{x}$, es decir $R=6\cdot \sigma _{x}$. Llegamos a la expresión comúnmente usada:

$SQNR=6,02\cdot b+1,25\quad dB$

Código

A continuación mostramos el código de una función de MATLAB que devuelve el valor de $SQNR$ a partir de la entrada de los vectores con las secuencias de las señales original $x(n)$ y cuantificada $y(n)$.

function [s] = sqnr(x,y)
% SQNR calcula la relación señal a ruido de cuantificación
% a partir de la señales original y cuantificada
% x (vector con la secuencia de la señal original)
% y (vector con la secuencia de la señal cuantificada)
e=y-x; % Error de cuantificación
Px=bandpower(x); % Potencia de la señal original
Pe=bandpower(e); % Potencia del error de cuantificación
s =10*log10(Px/Pe); % SQNR relación señal a ruido de cuantificación
end